Kubo-Formel für den Quanten-Hall-Effekt

Ich versuche die Kubo-Formel für die elektrische Leitfähigkeit im Zusammenhang mit dem Quanten-Hall-Effekt zu verstehen.

Mein Problem ist, dass mehrere Artikel, zum Beispiel der berühmte Artikel von TKNN (1982) oder eine Ausarbeitung von Kohmoto (1984) die diagonalen Einträge des Leitfähigkeitstensors in die Form schreiben

σ x j ( ω → 0 ) = ich e 2 ℏ ∑ E a < E F < E b ⟨ a | v x | b ⟩ ⟨ b | v j | a ⟩ − ⟨ a | v j | b ⟩ ⟨ b | v x | a ⟩ ( E a − E b ) 2 .

Dies ist die statische Grenze ω → 0 und niedrige Temperatur T → 0 . Die Summe geht über alle Eigenzustände | a ⟩ und | b ⟩ des Einteilchen-Hamiltonoperators. E F ist die Fermi-Energie. v x und v j sind die Einteilchen-Geschwindigkeitsoperatoren.

Allerdings leiten diese Papiere diese Gleichung nicht her, was bedauerlich ist, da die Kubo-Formel normalerweise nicht in dieser Form dargestellt wird. Ich habe stattdessen die folgende Variante gefunden (und erfolgreich neu abgeleitet).

σ x j ( ω + ich η ) = − ich e 2 v ( ω + ich η ) ∑ a , b f ( E a ) ( ⟨ a | v x | b ⟩ ⟨ b | v j | a ⟩ ℏ ω + ich η + E a − E b + ⟨ a | v j | b ⟩ ⟨ b | v x | a ⟩ − ℏ ω − ich η + E a − E b ) .

Dies ist Formel (13.37) von Ashcroft, Mermin , obwohl sie es nicht wirklich beweisen. f ( E ) ist die Fermi-Verteilung. Eine schöne Herleitung findet sich in Czycholl (deutsch).

Nun, meine Frage ist natürlich

Wie leitet man die erste Formel aus der zweiten ab?

Ich kann sehen, dass die erste Gleichung als linearer Term entsteht, wenn ich die Summe als Potenzreihe einschreibe ω , aber warum divergiert der konstante Term nicht?

Ich bin mir dessen überhaupt nicht sicher, aber: Ich denke, das Problem könnte sein, dass die Hall-Leitfähigkeit als antisymmetrisierte Komponente des Leitfähigkeitstensors definiert ist, dh die Größe, auf die die erste Formel zutrifft, tatsächlich sein kann σ x j − σ j x . Klingt das plausibel?
Ich bin mir nicht sicher, aber eine verwandte Beobachtung ist, dass der Leitfähigkeitstensor wahrscheinlich überhaupt antisymmetrisch sein sollte.
Das klingt für mich nicht richtig; Auf der Diagonalen sollten gewöhnliche (Nicht-Hall-)Leitfähigkeiten vorhanden sein.
Ich habe keine Ahnung. Können Sie ein Beispiel für ein Material mit diagonalen Leitfähigkeiten geben? Oder irgendwelche allgemeinen Hinweise zu diesem Zeug? Schließlich sind diagonale Leitfähigkeiten seltsam, weil der Strom senkrecht zum angelegten elektrischen Feld fließt.
Fand es! Eine leichte Variation eines Arguments von Czycholl kann verwendet werden, um zu zeigen, dass der divergierende Begriff tatsächlich verschwindet. Ich schreibe es bald auf.
Wenden Sie die oben abgeleitete Kubo-Formel zusammen mit der Methode der engen Bindung auf die numerischen Berechnungen an?
Eine weitere Quelle dafür ist Chakrabortys Lehrbuch über den Quanten-Hall-Effekt in Anhang B.

Antworten (2)

Die erste Formel folgt tatsächlich aus der zweiten Formel, wenn wir lassen ω → 0 . Um das zu sehen, erweitern Sie die Brüche als

1 ± ℏ ω + E a − E b = 1 E a − E b ( 1 ∓ ℏ ω E a − E b ) + Ö ( ω 2 )

erhalten σ x j = σ 1 + σ 2 als Summe eines potentiell divergierenden Terms

σ 1 = − ich e 2 v ω ∑ a , b f ( E a ) ⟨ a | v x | b ⟩ ⟨ b | v j | a ⟩ + ⟨ a | v j | b ⟩ ⟨ b | v x | a ⟩ E a − E b

und einen Term, der wie die erste Formel aussieht

σ 2 = − ich e 2 ℏ v ∑ a , b f ( E a ) − ⟨ a | v x | b ⟩ ⟨ b | v j | a ⟩ + ⟨ a | v j | b ⟩ ⟨ b | v x | a ⟩ ( E a − E b ) 2 .


Um zu sehen, dass der erste Term verschwindet, anstatt zu divergieren, müssen wir die Heisenberg-Bewegungsgleichung verwenden v x = d d t x = [ H 0 , x ] was gibt

⟨ a | v x | b ⟩ = ⟨ a | H 0 x − x H 0 | b ⟩ = ( E a − E b ) ⟨ a | x | b ⟩

und somit

⟨ a | v x | b ⟩ ⟨ b | v j | a ⟩ + ⟨ a | v j | b ⟩ ⟨ b | v x | a ⟩ = ( E a − E b ) ( ⟨ a | x | b ⟩ ⟨ b | v j | a ⟩ − ⟨ a | v j | b ⟩ ⟨ b | x | a ⟩ ) .

Die Faktoren ( E b − E b ) stornieren und die Restsumme überweisen b wird eine Summe über die Identität ∑ b | b ⟩ ⟨ b | = 1 . So kommen wir zu

σ 1 = − ich e 2 v ω ∑ a , b f ( E a ) ( ⟨ a | x v j − v j x | a ⟩ ) = 0 .

seit dem Kommutator [ x , v j ] verschwindet.


Um zu sehen, dass der zweite Term korrekt ist, müssen wir die Summenindizes richtig machen. Dazu müssen wir die Summation umstellen, um sie zu erhalten

σ 2 = ich e 2 ℏ v ∑ a , b ( f ( E a ) − f ( E b ) ) ⟨ a | v x | b ⟩ ⟨ b | v j | a ⟩ ( E a − E b ) 2 .

An der Grenze T → 0 , die Differenz von Fermi-Dirac-Verteilungen f ( E a ) − f ( E b ) wird gleich sein

  • 1 wenn E a < E F < E b
  • − 1 wenn E b < E F < E a
  • 0 Andernfalls

Wenn Sie dies verwenden und die Summation erneut neu anordnen, erhalten Sie die Kubo-Formel in der ersten Form.

Hallo, ich denke, Ihr Beweis für das Verschwinden des ersten Terms ist falsch. Wenn wir zum Beispiel eine Fermi-Fläche haben, dann ist der erste Term anscheinend nicht Null – es ist physikalisch sinnvoll, dass eine Leitfähigkeit in einem Metall eine Divergenz von 1/omega hat.
@XuYang Welcher Begriff ist Ihrer Meinung nach anscheinend ungleich Null? Beachten Sie, dass diese Berechnung nur für die Querleitfähigkeit gilt, nicht für die Längsleitfähigkeit, die tatsächlich abweichen kann.
@GregGraviton Zum Beispiel ist der anomale Hall-Effekt in einem Metall ungleich Null. Und tatsächlich kann es durch die Kubo-Formel erfasst werden, die sich als der erste Term herausstellt, den Sie aufgeschrieben haben.
Siehe Gleichung 1.12 im folgenden Artikel und die Herleitung danach: journals.aps.org/prb/pdf/10.1103/PhysRevB.48.11705 In diesem Artikel wird tatsächlich gezeigt, dass der erste Term nur für einen Isolator verschwindet, nicht für ein Metall.
Obige Gl. (2.12) von Tongs Anmerkungen zum QHE sagt er, dass das Verschwinden des divergenten Terms aus der Eichinvarianz / Erhaltung des Stroms ersichtlich ist. Weißt du, wie das angezeigt wird?
@Dwagg Keine Ahnung. Tatsächlich kaufe ich es nicht: Ein allgemeines Argument, das auf der Eichinvarianz basiert, würde wahrscheinlich auch für die Längsleitfähigkeit gelten. Aber es ist bekannt, dass bei einem sauberen Metall ohne Unordnung die Längsleitfähigkeit im Grenzbereich tatsächlich unendlich ist ω → 0 . Entweder enthält das von Ihnen erwähnte Argument einen anderen Bestandteil, der es für die Längsleitfähigkeit unanwendbar macht, oder es ist wahrscheinlich nicht gültig.
Es gibt keinen Grund für den Kommutator [ x , v j ]   [ x , [ H , j ] ] verschwinden. Zum Beispiel, wenn Sie einen Begriff wie haben p 4 im Hamiltonian. Es enthält Kreuzbegriffe des Formulars p x 2 p j 2 . Würde nicht [ x , [ H , j ] ] in diesem Fall ungleich Null sein. Ihr Beweis scheint nur für Systeme ohne solche Kreuzbegriffe zu funktionieren.
@symanzik138 Oh mein Gott, das ist ein guter Punkt. In einem Modell mit fester Bindung ist der Hamilton-Operator eine Summe von Exponentialen der Form exp ⁡ ( ich k x n + ich k j m ) , und v x = ∂ H / ∂ k x , also steht dein Argument. Ich muss darüber nachdenken, der wahre Grund ist wahrscheinlich, dass das System isolierend ist, dh die Verteilungsfunktion f ( E a ) enthält nur ganze Bands.
Ich habe eine Weile versucht, das richtige Argument in der Literatur zu finden. Bisher kein Erfolg. Ich vermute, dass der Hall-Widerstand im Allgemeinen als anitsymmetrischer Teil definiert werden muss σ x j . Aber der Beweis in Anhang B von Tapash Chakrabortys Rezension von QHE scheint auf den ersten Blick in Ordnung zu sein. Es verwendet einen anderen Ausgangspunkt. Es ist also etwas schwierig, damit zu vergleichen.

Eine schöne Ableitung der zweiten Formel findet sich in http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kintheory/four.pdf

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