Hubbard-Modell im Mean-Field: drei verschiedene Ansätze

Beim Lesen von doi:10.1016/j.carbon.2012.03.009 erwähnen die Autoren drei Arten von Hubbard-Modellen innerhalb der Mean-Field-Approximation. Der erste beschreibt die Elektron-Elektron- Wechselwirkung und ist nach meinem Verständnis die Standardmethode zum Aufschreiben des Modells und lautet (nur Wechselwirkungsterm):

H ich N T = U ∑ ich , σ N ich σ ⟨ N ich − σ ⟩

Die zweite Version scheint die Elektron-Loch- Wechselwirkung zu beschreiben und lautet:

H ich N T = U ∑ ich , σ ( ⟨ N ich − σ ⟩ − 1 2 ) N ich σ

Und ein drittes scheint die Moment-Moment- Interaktion zu beschreiben und lautet:

H ich N T = U 2 ∑ ich N ich ⟨ N ich ⟩ − U ∑ ich 2 M ich ⟨ M ich ⟩

Wo N ich = N ich ↑ + N ich ↓ Und M ich = 1 2 ( N ich ↑ − N ich ↓ ) .

Meine Frage ist, wie kann ich sehen, dass die beiden letzten "Versionen" beschreiben, was sie sollen. Nach meinem Verständnis sind alle dieselbe Version, mit Ausnahme einer Verschiebung auf dem Fermi-Niveau für Fall 2, die die Halbfüllung nach unten verschiebt E = 0 , im Gegensatz zu E = U / 2 . Fall 1 und 3 sind gleich.

Randbemerkung: Dies sind nicht drei Hubbard-Modelle, sondern drei Annäherungen an das Hubbard-Modell
Vielleicht möchten Sie sich Abbildung 6.1 der „Condensed Matter Field Theory“ von Altland und Simons ansehen. Es spricht über die drei Entkopplungskanäle durch die Hubbard-Stratanovich-Transformation.
danke @leongz, ich werde es mir ansehen, obwohl die Behandlung dort auf den ersten Blick über mein aktuelles Wissen der Feldtheorie hinausgeht (bin noch nicht in Feynman-Pfadintegrale eingestiegen). Glaubst du, ich kann dort die Antwort auf meine Frage finden? Gibt es auch eine Möglichkeit, meine Frage zu beantworten, ohne eine solche fortgeschrittene Behandlung einzubeziehen?

Antworten (1)

Für mich ist die Hubbard-Interaktion pro Standort definiert als H ich N T = U N ↑ N ↓ . (Ich habe die unterdrückt ich , und wegen Ihrer Spinsumme gibt es auch einen Faktor von zwei.)

Dann ist die Mean-Field-Approximation definiert als N ↑ N ↓ → N ↑ ⟨ N ↓ ⟩ + N ↓ ⟨ N ↑ ⟩ − ⟨ N ↑ ⟩ ⟨ N ↓ ⟩ .

Ihrer Version (i) fehlt also der konstante Begriff.

Pro Site haben Sie zwei Operatoren, N ↑ Und N ↓ , also die Besetzungen für jede Elektronensorte, die man natürlich gegen Gesamtladung eintauschen kann, N = N ↑ + N ↓ und Moment M = N ↑ − N ↓ (Vorsicht, wieder ein Faktor von zwei mit Ihrer Definition). Damit landen Sie bei Variante (iii).

Für Variante (ii) braucht man eine sogenannte Elektron-Loch-Transformation, also etwa für eine Spin-Spezies ↓ , ersetzen Sie den Elektronenzerstörungsoperator durch einen Locherzeugungsoperator C ↓ → A ↓ + , und umgekehrt. (Der A -Operatoren erfüllen dieselbe fermionische Algebra wie das Original C -Operatoren.) Also N ↓ = C ↓ + C ↓ → A ↓ A ↓ + = 1 − A ↓ + A ↓ . Dieser letzte Typ, A ↓ + A ↓ , du nennst es N ↓ wieder, aber denken Sie daran, es zählt jetzt Löcher. Und Sie landen bei der Elektron-Loch-Wechselwirkung in (ii).

Ich konzentriere mich nur auf die Teile, die Operatoren beinhalten, deshalb habe ich den konstanten Begriff weggelassen. Trotzdem sehe ich nicht, wie die dritte Version eine Moment-Moment-Interaktion beschreibt. Wie gesagt, ich weiß, dass es das gleiche Ergebnis wie im ersten liefert, daher meine Frage, warum beide unterschiedliche Dinge beschreiben. Schließlich erhalte ich durch Modifizieren der Elektronenoperatoren durch Lochoperatoren nicht denselben Ausdruck wie im zweiten Fall ( ein Term 1 / 2 N ich σ wird vermisst).
Version (iii) ohne mittleres Feld ist einfach U ( N 2 − M 2 ) , bei dem die M -part würde eine Interaktion eines Moments mit sich selbst beschreiben, was auch für mich eine etwas seltsame Interpretation ist. Normalerweise erhalten Sie im Hubbard-Modell eine Interaktion des Augenblicks vor Ort ich mit dem Moment auf einer anderen Website J über den Hopping-Term, T ich J . Im Hopping machen Sie dann Störungstheorie T , um eine Moment-Moment-Wechselwirkung mit einer Kopplungskonstante zu erhalten J = 4 T 2 / U .
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