Lösen des BCS-Hamiltonoperators über die Bogoliubov-Transformation

Ich habe in Giamarchis Introduction to Many Body Physics, Kapitel 3, eine Berechnung über die BCS-Theorie und die zweite Quantisierung durchgeführt und bin mit dem BCS-Hamiltonian etwas durcheinander gekommen. Das pdf ist hier für Ihre Referenz: http://dpmc.unige.ch/gr_giamarchi/Solides/Files/many-body.pdf

Die Hauptverwirrung kommt mit Gl. 3.154. Hier ist der BCS-Hamiltonoperator gegeben durch

H = ∑ k ( A ( k ) ( β k † β k − a k † a k ) + Δ ( a k † β k + β k † a k ) ) + ∑ k ξ ( k )

Wo ξ ( k ) Und A ( k ) sind Funktionen von k Und a k Und β k sind fermionische Operatoren. Nun weiß ich, dass der eng bindende Hamiltonoperator mit periodischem Potential durch Gl. 3.128:

H = ∑ k ( A ( k ) ( β k † β k − a k † a k ) + v ( a k † β k + β k † a k ) )
Die Lösung hierfür ist einfach mit der Bogoliubov-Transformation zu lösen und ist gegeben durch

E ( k ) = ξ ( k ) 2 + v 2
Das konnte ich ohne Probleme ableiten. Meine Frage lautet jedoch: Wäre die Lösung dann der BCS-Hamilton-Operator?

E B C S ( k ) = ξ ( k ) 2 + v 2 + ξ ( k )

Oder wäre es identisch mit dem eng bindenden Hamilton-Operator? Würden sich auch die durch die Bogoliubov-Transformation gegebenen Eigenvektoren ändern?

Es hängt davon ab, ob Sie sich für das Spektrum des Hamilton-Operators (die Eigenwerte von H) oder für den Energieanstieg interessieren, wenn Sie ein Quasiteilchen hinzufügen. Normalerweise interessiert man sich für letzteres.
@Adam Das Spektrum ist also ξ ( k ) 2 + v 2 , während die erhöhte Energie nach Zugabe eines Quasi-Teilchens ist ξ ( k ) 2 + v 2 + ξ ( k ) ?
Schreiben Sie den Hamiltonoperator nach der Bogoliubov-Transformation neu (und seien Sie vorsichtig mit der Kommutierung der Leiteroperatoren), und alles sollte klar sein.
Ich sehe nicht, wie Sie möglicherweise darauf kommen können ξ 2 + v 2 + ξ . Denken Sie daran, dass der letzte Begriff ∑ k ξ k ist die Vakuumenergie, die weder in das Spektrum noch in die Anregungsenergie der Quasiteilchen eintritt. Auf jeden Fall sollte das Spektrum sein ξ 2 + v 2 ohne das zusätzliche ξ .

Antworten (2)

Wie es in Giamarchis Dokument heißt: "Dies ist bis auf eine einfache Konstante genau der Hamilton-Operator, den wir bereits untersucht haben, und kann daher durch genau dieselben Transformationen gelöst werden."

In der Tat, ∑ k ξ ( k ) ist eine Konstante: Sie betrifft keinen der Operatoren a k oder β k , und kann geschrieben werden E 0 = ∑ k ξ ( k )

Daher würde die Auflösung des BCS-Hamiltonoperators dazu führen

E B C S ( k ) = ξ ( k ) 2 + v 2 + ∑ k ' ξ ( k ' ) = ξ ( k ) 2 + v 2 + E Ö

Dies sind genau die gleichen Energien wie im TB-Fall mit dem Potential oben, verschoben um einen festen Betrag, und würden zu den gleichen Eigenvektoren führen.

Was meinst du mit "Lösung des BCS-Hamiltonoperators"? In der Quantenmechanik ist eine Lösung eine beobachtbare Größe, die Sie berechnen möchten. Trotzdem nenne ich die Partitionsfunktion (die große kanonische für Vielteilchenprobleme) normalerweise eine "Lösung", weil sie die meisten Informationen des Systems enthält.

Beantwortung Ihrer Frage, vorausgesetzt, Ihre Frage bezieht sich auf das Quasiteilchenspektrum (Anregungsenergien): Die Quasiteilchenenergien sind E k = ξ k 2 + v 2 .

Die gesamte "Energie" (wir haben es eigentlich mit dem großkanonischen Hamiltonian zu tun, also ξ k Energien sind nur aus dem chemischen Potential bezogen) nach einer Quasi-Teilchen-Anregung ist E k = ξ k 2 + v 2 + ∑ k ξ k plus einige andere Energiekonstanten, die Sie möglicherweise auf dem Weg verloren haben (manchmal sind die Konstanten notwendig, aber nicht im Allgemeinen).

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