Gültigkeit der Mean-Field-Approximation

Question

Gültigkeit der Mean-Field-Approximation

Physik
Vielkörper
Annäherungen
kondensierte Materie
Mean-Field-Theorie
Supraleitung

Lars Milz

In der Mean-Field-Approximation ersetzen wir den Wechselwirkungsterm des Hamiltonoperators durch einen Term, der quadratisch in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist. Zum Beispiel im Fall der BCS-Theorie, wo

\sum_{k k^{'}} v_{k k^{'}} c_{k ↑}^{†} c_{- k ↓}^{†} c_{- k^{'} ↓} c_{k^{'} ↑} \to \sum_{k} Δ_{k} c_{k ↑}^{†} c_{- k ↓}^{†} + Δ_{k}^{⋆} c_{- k ↓} c_{k ↑},

$\sum_{kk^{\prime}}V_{kk^{\prime}}c_{k\uparrow}^{\dagger}c_{-k\downarrow}^{\dagger}c_{-k^{\prime}\downarrow}c_{k^{\prime}\uparrow}\to\sum_{k}\Delta_{k}c_{k\uparrow}^{\dagger}c_{-k\downarrow}^{\dagger} + \Delta_{k}^{\star}c_{-k\downarrow}c_{k\uparrow}\text{,}$

mit $\Delta_{k}=\sum_{k^{\prime}}V_{kk^{\prime}}\langle c_{-k^{\prime}\downarrow}c_{k^{\prime}\uparrow}\rangle\in\mathbb{C}$ . Dann steht in Büchern, wie diesem von Bruss & Flensberg, immer ein Satz wie "the fluactuations around $\Delta_{k}$ sind sehr klein", so dass die Mean-Field-Approximation eine gute Approximation ist. Aber wir wissen zum Beispiel im Fall des 1D-Ising-Modells, dass die Mean-Field-Approximation sehr schlecht ist.

Meine Frage: Gibt es eine Ungleichung oder irgendwelche mathematischen Bedingungen, die etwas über die Gültigkeit des Mean-Field-Ansatzes aussagen? Gibt es ferner eine mathematisch rigorose Ableitung der Mean-Field-Approximation und deren Gültigkeit?

jjcale

Für das Sherrington-Kirkpatrick-Spin-Glas-Modell siehe annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/…

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Gültigkeit der Mean-Field-Approximation

Für das Sherrington-Kirkpatrick-Spin-Glas-Modell siehe annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/…

valerio · Answer 1

Die mittlere Feldtheorie ist nur gut, wenn die Fluktuationen klein sind, was bedeutet, dass die freie Energie einer Fluktuation viel kleiner sein muss als die gesamte freie Energie.

Die freie Energie der typischen Fluktuation ist von Ordnung $kT$ und seine Größe wird durch die Korrelationslänge bestimmt $\xi$ , und ist in Ordnung $\xi^d$ , mit $d=$ Abmessungen:

F_{f l u c t} \sim \frac{k T}{ξ^{d}} \sim∣ t ∣^{v d}

$F_{fluct}\sim \frac{kT}{\xi^d}\sim \mid t\mid^{\nu d}$

Benutzt $\xi \sim \mid t \mid^{-\nu}$ wo $t=(T-T_c)/T_c$ und $T_c$ ist die kritische Temperatur. Um die gesamte freie Energie zu erhalten, müssen wir die doppelte spezifische Wärme integrieren, $c\sim \mid t \mid^{-\alpha}$ . Das aufzwingen $F_{fluct}/F$ geht zu $0$ zum $t\to 0$ wir erhalten

d v > 2 - a

$d \nu > 2-\alpha$

Zum Beispiel im Ising-Modell, das wir haben $\alpha=0$ und $\nu=1/2$ , so dass die Bedingung ist $d>4$ . Aus diesem Grund ist die Annäherung an das mittlere Feld für das Ising-Modell in weniger als vier Dimensionen schlecht.

Danke, das ist eine nette Antwort. Ich interessiere mich jedoch mehr für den Fall der BCS-Theorie und der Hartree-Fock-Theorie. Hier sollte es anders funktionieren oder?
Dies sind ganz allgemeine statistisch-mechanische Argumente und sollten unabhängig vom Modell gelten. Was ich gesagt habe, ist manchmal als das Ginzburg-Kriterium bekannt.
Sie haben Recht, aber was ist die Bedingung für die Hartree-Fock-Näherung? Hier haben wir keine kritischen Exponenten, nur ein fermionisches System.
Die BCS-Theorie (eine Hartree-Fock-Näherung) ist eine mikroskopische Theorie der Supraleitung, die ein kritisches Phänomen ist. Sie haben also eine kritische Temperatur und kritische Exponenten. Tatsächlich werden Sie die gleichen kritischen Vertreter der (makroskopischen) Landau-Ginzburg-Theorie haben, da es sich bei beiden um mittlere Feldtheorien handelt. Siehe zum Beispiel Seite. 766 hier: lassp.cornell.edu/clh/Book-sample/7.3.pdf
Ich denke, Sie erklären das Kriterium für die Gültigkeit des MFA in der Nähe $T_c$ , aber die Frage ist ungefähr $T=0$ .

Thomas · Answer 2

Sie können das "would-be" bosonische mittlere Feld genau einführen, indem Sie die Hubbard-Stratonich-Methode (auch bekannt als partielle Bosonisierung) verwenden, siehe Wikipedia und Interacting fermions on a lattice and Hubbard-Stratonovich transformation and mean-field approximation .

Die Annäherung an das mittlere Feld entspricht der Durchführung des Integrals über das bosonische Feld unter Verwendung der Annäherung an die stationäre Phase. Die Fermionenwirkung ist bilinear und kann exakt durchgeführt werden. Korrekturen an der Näherung der stationären Phase entsprechen Schwankungen um das mittlere Feld herum. Diese sind klein, wenn die Vier-Fermion-Kopplung in der BCS-Theorie klein ist. Wenn die Kopplung stark ist, kann es möglich sein, die Näherung des mittleren Felds durch eine große N- (N-Komponenten-Vektorfeld) oder große d- (Anzahl der Dimensionen) Näherung zu rechtfertigen.

Schematisch ist die effektive Aktion der bosonisierten Theorie

S = T r {Protokoll [G_{0}^{- 1} G (ϕ)]} - \frac{ϕ^{2}}{g}

$S = {\rm Tr}\{\log[G_0^{-1}G(\phi)]\} -\frac{\phi^2}{g}$ wo

g

$g$ ist die Kupplung,

ϕ

$\phi$ ist das bosonische Feld, und

G (ϕ) = (\begin{matrix} p_{0} - ϵ_{p} & ϕ \\ ϕ & p_{0} + ϵ_{p} \end{matrix})

$G(\phi) = \left( \begin{matrix} p_0-\epsilon_p & \phi \\ \phi & p_0+\epsilon_p \end{matrix} \right)$ ist der Verbreiter. definiere ich auch

G_{0} = G (0)

$G_0=G(0)$ . Jetzt

{\frac{δ S}{δ ϕ} |}_{ϕ_{0}} = 0

$\left. \frac{\delta S}{\delta\phi}\right|_{\phi_0} = 0$ ist die MFA-Lückengleichung

ϕ_{0} = g \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{ϕ_{0}}{\sqrt{ϵ_{p}^{2} + ϕ_{0}^{2}}} .

$\phi_0 = g\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{\phi_0}{\sqrt{\epsilon_p^2+\phi_0^2}} .$ Korrekturen können durch Erweitern gefunden werden

S

$S$ um

ϕ = ϕ_{0} + δ ϕ

$\phi=\phi_0+\delta \phi$ . Dies wird höhere Schleifen enthalten

G (ϕ_{0})

$G(\phi_0)$ . Der Expansionsparameter ist g. In physikalischen Einheiten

1 / g

$1/g$ ist der Logarithmus der Fermi-Energie über der Lücke,

g \sim [\log (E_{F} / ϕ_{0})]^{- 1}

$g\sim [\log(E_F/\phi_0)]^{-1}$ .

Nahe $T_c$ Korrekturen zum mittleren Feld (= Landau-Ginsburg) werden durch das Ginsburg-Kriterium gesteuert, wie in der Antwort von Valrio92 erläutert. Bei BCS mit schwacher Kopplung ist das Ginsburg-Fenster klein und das mittlere Feld ist genau, außer sehr nahe daran $T_c$ .

Mit "Korrekturen an der Näherung der stationären Phase" meinen Sie Terme hoher Ordnung in der Taylor-Entwicklung des Funktionals?

Zy Han · Answer 3

Ich habe kürzlich die Referenz von @akhmeteli bemerkt, die mir sehr hilft, MFA zu verstehen. Ich werde hier etwas rechnen (in Bezug auf das ursprüngliche Problem):

H = \sum ϵ_{k} c_{k}^{†} c_{k} + \sum_{k k^{'}} v_{k k^{'}} c_{k ↑}^{†} c_{- k ↓}^{†} c_{- k^{'} ↓} c_{k^{'} ↑}

$\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\Tr}{\text{Tr}} H = \sum \epsilon_k c^\dagger_k c_k + \sum_{k k'} V_{kk^{\prime}}c_{k\uparrow}^{\dagger}c_{-k\downarrow}^{\dagger}c_{-k^{\prime}\downarrow}c_{k^{\prime}\uparrow}$ MFA, wie von Bogoliubov vorgeschlagen, kann vollständig innerhalb des Variationsprinzips verstanden werden, daher kann man die verwirrenden "Ordnungsparameter" und "Fluktuation" mit dem folgenden Verfahren loswerden:

Schritt 1: Wählen Sie beispielsweise einen nicht-interagierenden Hamiltonoperator mit so vielen einstellbaren Parametern, wie Sie möchten
$H_{0} = H_{0} (E, Δ) = \sum E_{k} c_{k σ}^{†} c_{k σ} + \sum_{k, σ σ^{'}} (Δ_{k, σ σ^{'}} c_{k σ}^{†} c_{- k σ^{'}}^{†} + HC)$ $H_0 = H_0(E, \Delta) = \sum E_k c^\dagger_{k\sigma} c_{k\sigma} + \sum_{k, \sigma\sigma'} (\Delta_{k, \sigma\sigma'}c_{k\sigma}^{\dagger}c_{- k\sigma'}^{\dagger} + \text{H.C.})$ Beachten Sie, dass die Form hier die räumliche Translationssymmetrie impliziert. Sie können natürlich eine allgemeinere Form verwenden, die Ihnen möglicherweise mehr Beobachtungen gibt (z. B. den Dichtewellenzustand, der die Translationssymmetrie bricht).
Schritt 2: Die Bogoliubov-Ungleichung hilft, den optimalen Parametersatz zu finden, indem er definiert:
$F (H) = - \frac{1}{β} Protokoll (Tr (e^{- β H}))$ $F(H) = -\frac{1}{\beta} \log \left(\Tr(e^{-\beta H})\right)$

$⟨ \hat{Ö} ⟩_{0} = \frac{Tr (\hat{Ö} e^{- β H_{0}})}{Tr (e^{- β H_{0}})}$ $\expect{\hat{O}}_0 = \frac{\Tr( \hat{O} e^{-\beta H_0})}{\Tr( e^{-\beta H_0})}$ die Ungleichung (Variationsprinzip): $F (H) \leq F (H_{0}) + ⟨ H - H_{0} ⟩_{0}, \forall H_{0}$ $F(H) \leq F(H_0) + \expect{H-H_0}_0, \quad \forall H_0$ optimal $H_0$ ist somit gegeben durch: $\underset{alle Parameter}{Mindest} F (H_{0}) + ⟨ H - H_{0} ⟩_{0}$ $\min_{\text{all parameters}} F(H_0) + \expect{H-H_0}_0$

mit etwas zusätzlicher Mathematik, insbesondere der Feynman-Hellmann-Gleichung:

\begin{aligned} \frac{\partial F (H_{0})}{\partial E_{k}} & = \sum_{σ} ⟨ c_{k σ}^{†} c_{k σ} ⟩_{0} \\ \frac{\partial F (H_{0})}{\partial Δ_{k, σ σ^{'}}} & = ⟨ c_{k σ}^{†} c_{- k, σ^{'}}^{†} ⟩_{0} \\ \dots \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\partial F(H_0)}{\partial E_k} &= \sum_{\sigma} \expect{c^\dagger_{k\sigma}c_{k\sigma}}_0 \\ \frac{\partial F(H_0)}{\partial \Delta_{k,\sigma\sigma'}} &= \expect{c^\dagger_{k\sigma} c^\dagger_{-k,\sigma'}}_0 \\ & \cdots \end{aligned}$ und der Satz von Wick für die Erwartung, die auf einem nicht wechselwirkenden Grundzustand berechnet wird:

⟨ c_{1}^{†} c_{2}^{†} c_{3} c_{4} ⟩_{0} = ⟨ † † ⟩_{0} ⟨ . . ⟩_{0} - ⟨ ⟩_{0} ⟨ ⟩_{0} + ⟨ ⟩_{0} ⟨ ⟩_{0}

$\expect{c_1^\dagger c_2^\dagger c_3 c_4}_0 = \expect{\dagger\dagger}_0\expect{..}_0 - \expect{}_0\expect{}_0 + \expect{}_0\expect{}_0$ Es soll einfach sein, Ihr gewünschtes Ergebnis wiederherzustellen.

Achmeteli · Answer 4

Die Mean-Field-Theorie ist (in der thermodynamischen Grenze) im Fall einer langreichweitigen Wechselwirkung exakt (was beim Ising-Modell des nächsten Nachbarn nicht der Fall ist). Daher ist die Mean-Field-Theorie genau für BCS, wo Sie eine effektive Wechselwirkung über große Entfernungen haben. Was strenge Ergebnisse betrifft, bewies Bogoliubov rigoros, dass im Grundzustand (Nulltemperatur) die Energien pro Teilchen für BCS und die Mean-Field-Theorie im thermodynamischen Limit übereinstimmen. Später hat Bogoliubov Jr. dasselbe für beliebige Temperaturen (und freie Energien pro Teilchen) rigoros bewiesen. Siehe die Bibliographie, z. B. unter http://arxiv.org/abs/1507.00563 (die Diskussion ist ungefähr auf Seite 43).

Nicht sicher was du meinst. 1) BCS ist Nullbereich. 2) MFA ist sicherlich nicht exakt für Kräfte mit großer Reichweite wie Eichbosonen, Spinfluktuationen usw. 3) Sie meinen vielleicht eine wirklich unendliche Reichweite (Nullreichweite im Impulsraum), aber dies wird in der Natur nicht realisiert.
@Thomas: "Die BCS-Wechselwirkung findet ausschließlich bei Nullimpuls statt und beinhaltet als solche eine Wechselwirkung zwischen Paaren mit unendlicher Reichweite. Dieser Aspekt des Modells mit großer Reichweite ermöglicht die exakte Lösung des BCS-Hamilton-Operators unter Verwendung der Mean-Field-Theorie."( Bücher. google.com/… ). Und es ist ein Modell, nicht die Natur :-)
s-Wellen-BCS streut (k,-k) in (k',-k') , sodass die Impulsübertragung q=kk' von der Ordnung k_F ist, was eine Wechselwirkung mit kurzer Reichweite ist.
Ich denke, Sie beziehen sich auf die Tatsache, dass das Momentum des Paares null ist, aber das macht die MFA nicht exakt
@Thomas: Innerhalb des Modells und in der thermodynamischen Grenze tut es das.
Welches Modell? BCS sicher nicht. Es sei denn, Sie meinen MFA-BCS, was die Aussage tautologisch macht
@Thomas: Bogoliubov Jr. hat das für einen ziemlich allgemeinen Kernel von BCS bewiesen. Die unter arxiv.org/abs/1507.00563 angegebenen Referenzen stehen mir nicht ohne Weiteres zur Verfügung, ich habe nur ein Buch in russischer Sprache mit dem Beweis. Ich bin mir bei einem beliebigen Kernel nicht ganz sicher, aber warum sind Sie sicher, dass das Ergebnis für einen beliebigen Kernel nicht korrekt ist?
Siehe auch HAAG, R.: Die mathematische Struktur des BCS-Modells. Nuovo cimento 25/2 287–299 (1962).

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