Bewertung der Tieftemperaturabhängigkeit der BCS-Gap-Funktion

Wie geht man bei der Bewertung des Verhaltens der BCS-Lücke vor?$\Delta = \Delta(T)$für$T \to 0^+$unter der Näherung der schwachen Kopplung$\Delta/\hbar\omega_D \ll 1$?

In Fetter & Walecka, Quantentheorie von Vielteilchensystemen , Prob. 13.9 heißt es, dass der Ausgangspunkt ist

$$\tag{1} \ln\frac{\Delta_0}{\Delta} = 2\int_0^{\hbar\omega_D}{\frac{\mathrm d\xi}{\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}\frac{1}{e^{\beta\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}+1}},$$ was ich ohne Probleme aus der Theorie ableiten kann, aber ich kann keinen Weg finden, dieses Integral auch unter den Annäherungen tatsächlich auszuwerten $\hbar\omega_D \to \infty$, $\Delta \approx \Delta_0$(in der RHS) und $\beta\Delta \to \infty$. [Natürlich $\beta = (k_BT)^{-1}$Und $\Delta_0 = \Delta(T = 0)$.] Ich habe mehrere Ansätze ausprobiert, verschiedene Taylor-Entwicklungen und Variablenänderungen verwendet, aber ich stecke einfach fest.

Fürs Protokoll, das erwartete Verhalten soll sein

$$\tag{2} \Delta(T) \sim \Delta_0\left(1 - \sqrt{\frac{2\pi}{\beta\Delta_0}}e^{-\beta\Delta_0}\right) .$$

EDIT: Lass es einfach hier für die Nachwelt. Ich habe einen vollständigeren Weg gefunden, dieses Integral anzugehen; speziell unter der WC-Näherung hat man

$$\int_0^{+\infty}{\frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2 + 1}}\frac{e^{-\beta\Delta\sqrt{x^2 + 1}}}{1 + e^{-\beta\Delta\sqrt{x^2 + 1}}}} = \int_1^{+\infty}{\frac{\mathrm d y}{\sqrt{y^2 - 1}}\frac{e^{-\beta\Delta y}}{1 + e^{-\beta\Delta y}}} =$$ $$= \sum_{k=1}^{+\infty}\int_1^{+\infty}{\frac{\mathrm d y}{\sqrt{y^2 - 1}} (-1)^{k+1}e^{-k\beta\Delta y}} = \sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\int_0^{+\infty}{\mathrm d t\; e^{-k\beta\Delta \cosh{t}}} = \sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1} K_0(k\beta\Delta),$$

$K_0$Dabei handelt es sich um die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art 0-ter Ordnung, deren asymptotisches Verhalten bekannt ist und die verwendet werden kann, um das Problem relativ sauber zu lösen (und sogar die Korrekturen bei höheren Ordnungen zu finden, die sind$\in O(e^{-\beta\Delta}(\beta\Delta)^{-k - 1/2})$. Vgl. Abrikosov, Gorkov, Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Phyisics , 1963. Pagg. 303-304.