Wie funktioniert die Projektor-Monte-Carlo-Methode?

Der Projektoroperator ist gegeben durch,

$$\begin{equation} \hat{P} = e^{-\tau \hat{H}} \end{equation}$$

Das müssen wir zeigen$| \phi^{m} \rangle = (\hat{P})^{m} | \phi \rangle$im großen$m$Grenze gibt,$| \phi^{m} \rangle = | \psi \rangle$.

$$\begin{align} | \phi^{m} \rangle = (\hat{P})^{m} | \phi \rangle & = \displaystyle\lim_{m \to \infty} \sum_{\alpha} e^{-m \tau \hat{H}} | \alpha \rangle \langle \alpha | \phi \rangle \\ & = \displaystyle\lim_{m \to \infty} \sum_{\alpha} e^{-m \tau E_{\alpha}} | \alpha \rangle \langle \alpha | \phi \rangle \\ & = | \psi \rangle \end{align}$$

An der Grenze des Großen$m$und fixiert$\tau$löscht die Projektion alle Zustände mit hoher Energie und nur den Grundzustand (niedrigste Energie, dh$E_{0}$) werde überleben. Wir haben angenommen, dass der Grundzustand nicht entartet (eindeutig!) ist. Bei degenerierter Vakua kommt es zu einer kritischen Verlangsamung.