Verständnis des Verhaltens eines interagierenden Bose-Gases

Question

Verständnis des Verhaltens eines interagierenden Bose-Gases

Physik
Vielkörper
Interaktionen
kondensierte Materie
Statistische Mechanik
Bose-Einstein-Kondensat

SRS

Aus der Bose-Einstein-Verteilung folgt, dass unterhalb einer bestimmten kritischen Temperatur ein nicht wechselwirkendes Bose-Gas in das Bose-Einstein-Kondensat kondensiert . Was passiert, wenn Wechselwirkungen in ein Bose-Gas eingeführt werden, wird in den Einführungskursen zur statistischen Mechanik nicht behandelt. Daher sind meine Fragen ziemlich naiv und einfach.

Wie wird (werden) die Wechselwirkung(en) in einem Bose-Gas quantitativ modelliert und wie ändert es das Verhalten (im Vergleich zum nicht wechselwirkenden Bose-Gas) wenn die Temperatur gesenkt wird? Gibt es eine Möglichkeit, die Änderung des Verhaltens physikalisch zu verstehen, falls vorhanden?

Als kleine Anmerkung wurde mir mitgeteilt, dass bei Fermi-Gasen die Rolle der Wechselwirkungen die effektive Masse verschiebt $m\to m^*$ und die Energieniveaus (effektive Abbildung des wechselwirkenden Systems auf ein System von Quasiteilchen, die immer noch der FD-Statistik gehorchen). Passiert hier auch ähnliches?

Rokoko

Sollte der Titel dieser Frage also lauten: „Das Verhalten eines interagierenden Bose-Gases verstehen“?

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Verständnis des Verhaltens eines interagierenden Bose-Gases

Sollte der Titel dieser Frage also lauten: „Das Verhalten eines interagierenden Bose-Gases verstehen“?

Thomas · Answer 1

1) Beachten Sie zunächst, dass ein nicht wechselwirkendes Bose-Gas eine Idealisierung ist. Wenn das Gas wirklich wechselwirkungsfrei wäre, wäre es unmöglich, durch Verdunstungskühlung (oder jede andere Methode, die Energie entfernt und eine erneute Gleichgewichtseinstellung des Gases erfordert) zu kühlen.

2) In einem Bose-Gas muss der Nahbereich der Wechselwirkung abstoßend sein (andernfalls kollabiert das Gas bei niedriger Temperatur). Ein typisches Modell ist eine repulsive Deltafunktion

v (X_{1}, X_{2}) = \frac{4 π A}{M} δ (X_{1} - X_{2})

$V(x_1,x_2)=\frac{4\pi a}{m} \delta(x_1-x_2)$ gesteuert durch die s-Wellen-Streulänge

a

$a$ . Tatsächlich ist dies für ein verdünntes Gas kein Modell, sondern eine systematische Beschreibung der Niederenergieeigenschaften.

3) In einem wechselwirkungsfreien Gas findet die Bose-Kondensation bei der Einstein-Temperatur statt

T_{C} = \frac{2 π}{M} {(\frac{N}{ζ (3 / 2)})}^{2 / 3} .

$T_c = \frac{2\pi}{m}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}.$ Die führende Verschiebung aufgrund von (abstoßend,

a > 0

$a>0$ ) Wechselwirkungen ist

Δ T_{C} ≃ 1.3 A N^{1 / 3} T_{C}

$\Delta T_c \simeq 1.3 an^{1/3} T_c$ was selbst in einem stark wechselwirkenden Gas wie Helium keine große Verschiebung ist.

4) Das systematische Studium der Störungstheorie in $a$ geht auf Bogoliubov zurück. Er fand zum Beispiel heraus, dass die Dispersionsrelation von Quasiteilchen in einer kondensierten Flüssigkeit Bose ist

ϵ_{P} = \frac{1}{2 M} \sqrt{(P^{2} + 8 π A N)^{2} - (8 π A N)^{2}}

$\epsilon_p = \frac{1}{2m}\sqrt{(p^2+8\pi an)^2-(8\pi an)^2}$ die sanft zwischen einem Goldstone-Modus bei niedrig interpoliert

p

$p$ , und nicht wechselwirkende Atome insgesamt

p

$p$ .

5) Und in der Tat, wie unten angemerkt, können Sie die Wechselwirkung in (2) nehmen und in einer mittleren Feldnäherung behandeln. Dies führt zu einer nichtlinearen Schrödinger-Gleichung (der Gross-Pitaevski-Gleichung) für die Kondensatwellenfunktion. Diese Gleichung kann verwendet werden, um Wolkenprofile, kollektive Modi usw. zu untersuchen.

Müsste nicht auch (zumindest) auf lange Distanz eine Anziehungskraft vorhanden sein, denn sobald ein entarteter Grundzustand besetzt ist, gibt es eine erhöhte Affinität für die anderen Bosonen, den bereits besetzten Zustand zu besetzen? @Thomas
Bose-Statistiken werden bei der Berechnung natürlich berücksichtigt. Was wir mit "Wechselwirkung" meinen, ist der Wechselwirkungs-Hamiltonoperator für zwei Teilchen im freien Raum. Tatsächlich ist der langreichweitige Teil der Wechselwirkung zweier neutraler Teilchen fast immer anziehend (die Casimir-Polder-van-der-Waals-Kraft). Was für das (verdünnte) kondensierte Bose-Gas wichtig ist, ist die kurzreichweitige S-Wellen-Wechselwirkung, die abstoßend sein muss.
Lassen Sie mich nur sagen, dass Sie das Potenzial nutzen $V(x_1,x_2)$ führt zur Gross-Pitaevskii-Gleichung, die der quantenmechanische Ausgangspunkt für die Untersuchung wechselwirkender Bose-Gase ist: $ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial T} = [- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \nabla^{2} + v (\vec{R}) + G N | ψ |^{2}] ψ$ $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) + gN|\psi|^2 \right]\psi$

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