Verteilungsfunktion eines Gases aus NNN-identischen klassischen Teilchen

Beachten Sie, dass die$e^{-\beta H}$ist dimensionslos, während jeder Faktor von$dp$trägt dabei jeweils einen Faktor mit den Dimensionen Impuls bei$dx$trägt mit den Dimensionen der Länge einen Faktor bei. Daher jeder Faktor$dp dx$trägt einen Faktor mit Dimensionen des Drehimpulses bei. Weil dort sind$3N$dieser Faktoren (N Teilchen und 3 Dimensionen) im Integrationsmaß hat das Integral eine Gesamtdimension von Drehimpuls hoch$3N$. Andererseits,$h$hat Dimensionen des Drehimpulses, also Division durch$h^{3N}$macht den vollen Ausdruck dimensionslos.

Der einfachste Weg, darüber nachzudenken, ist das$\exp(\dots)$ist nur eine Zahl und hat keinen Einfluss auf die Dimension. Allerdings haben Sie immer noch$3N$Faktoren der Impulse und der herumliegenden Position, die Ihnen Dimensionen von [Länge x Impuls] geben${}^{3N}$. Die Plancksche Konstante hat die Einheiten Länge x Impuls, also die$3N$Faktoren von$h$sage ab$3N$Faktoren aus dem Integral.

Der Phasenraum der Koordinaten und Impulskomponenten der N Teilchen hat in diesem Raum eine bestimmte Größe, es gibt eine Anzahl von Mikrozuständen innerhalb dieser Größe, die durch die Zellgröße im quantisierten Phasenraum bestimmt wird (aufgrund der Unsicherheit h für jeden Freiheitsgrad dx dp und für 3N Freiheitsgrade der N Teilchen) wird es h^3N sein. Die Anzahl möglicher Anordnungen dieser N unterscheidbaren Teilchen ist N! im Zähler wiederholt), aber ununterscheidbar sind, müssen wir dies korrigieren, indem wir die Größe b N! dividieren.