Wie baut sich die makroskopische Wellenfunktion von einem Nullwert zu einem Nichtnullwert auf?

Ich beschreibe hier ein allgemeines Prinzip der Kondensatbildung durch Kühlung. Dieses Prinzip sollte grundsätzlich für alle Fälle wie BEC, BCS, Suprafluidität etc. gelten.

Die hier gegebene Beschreibung bezieht sich nur auf die konzeptionelle Spielzeugmodellebene. Viel aufwendiger sind die Details der theoretischen und experimentellen Umsetzung in einem realistischen Fall. Die tatsächliche Implementierung kann sich zwischen den verschiedenen Fällen und zwischen den experimentellen Methoden erheblich unterscheiden.

Für Systeme mit spontaner Symmetriebrechung ist der makroskopische Kondensatgrundzustand ein kohärenter Zustand; siehe zum Beispiel die Begründung in Abschnitt 2 der folgenden Arbeit von Yulakov im Fall der Bose-Einstein-Kondensation. In dieser Beschreibung ist die makroskopische Wellenfunktion der Eigenwert des Feldoperators$\hat{\Psi}(\mathbf{r})$:

$$\hat{\Psi}(\mathbf{r}) |\Phi \rangle = \psi(\mathbf{r}) |\Phi \rangle$$

$|\Phi \rangle$ist der makroskopische Grundzustand, und$\psi(\mathbf{r})$ist die makroskopische Wellenfunktion.

Formal lässt sich der makroskopische Zustand also schreiben als:

$$|\Phi \rangle = e^{\int \psi(\mathbf{r}) a^{\dagger}(\mathbf{r})) dr} |0 \rangle$$

Wo$|0 \rangle$ist das ununterbrochene Vakuum und$a^{\dagger}(\mathbf{r})$sind die Erstellungsoperatoren am Standort$\mathbf{r}$(Natürlich ist diese Gleichung eine feldtheoretische Verallgemeinerung des kohärenten Einmodenzustands:$e^{\alpha a^{\dagger}}|0 \rangle$.

Der Kühlprozess sollte den Zustand des Systems von einem thermischen Zustand in den oben beschriebenen kohärenten Zustand umwandeln. Natürlich kann die Dynamik des Abkühlungsprozesses nicht hamiltonsch sein, da die hamiltonsche Dynamik einen gemischten Zustand nicht in einen reinen Zustand überführen kann. Die Dynamik des Abkühlungsprozesses kann jedoch durch Lindblad-Dynamis angenähert werden , die die Schrödinger-Dynamik bei offenen oder stochastisch angetriebenen Systemen verallgemeinern. Die Lindblad-Dynamis können die Dissipation beschreiben und sie können auch den obigen Reinigungsprozess beschreiben. Die vollständigen Details in unserem Fall können von der Kühlmethode und dem spezifischen System abhängen und können sehr umfangreich sein. Daher beschreibe ich im Folgenden diesen Vorgang prinzipiell am Beispiel einer Einmodenart: Wie ein thermischer Zustand in einen kohärenten Zustand übergeht:

In der Lindblad-Dynamik ist die Entwicklung des Dichteoperators gegeben durch:

$$\dot{\rho} = \frac{i}{\hbar} [H, \rho] + \mu L \rho L^{\dagger} - \frac{1}{2} \{ L^{\dagger} L, \rho \}$$ Diese Gleichung erhält die Spur der Dichtematrix bei 1. Der erste Term ist der übliche Hamilton-Term. Der Betreiber $L$ist der Lindblad-Operator. Die Wahl des Lindblad-Operators steuert in unserem Fall die Dissipation oder die Reinigung. Für den Fall, dass der Hamilton-Operator linear ist $$H = - i (\bar{\lambda} a - \lambda a^{\dagger})$$

und der Lindblad-Operator wird als Vernichtungsoperator gewählt$L=a$, entwickelt sich das Lindblad-System in den kohärenten Zustand$e^{\alpha a^{\dagger}}$, mit$\alpha = \frac{2 \lambda}{\mu}$von jedem Anfangszustand, in dem es beginnt.

Die folgende Arbeit von Barnett erklärt den obigen Punkt im Detail. Er erklärt auch die Stabilität des kohärenten Zustands im Vergleich zu den Zahlenzuständen.

Die Eigenschaft bestimmter Lindblad-Operatoren, die Dynamik dazu zu bringen, in einen kohärenten Zustand zu konvergieren, ist allgemein und nicht auf den obigen Einzelmodus-Fall beschränkt.

Nun interpoliert die Dichtematrix während des Evolutionsprozesses zwischen dem anfänglichen thermischen Zustand und dem endgültigen kohärenten Zustand. Barnett wählt die Treue:

$$F = \langle \Phi_{\infty} | \rho(t) |\Phi_{\infty} \rangle$$

als Maß für diesen Reinigungsprozess ($|\Phi_{\infty} \rangle$ist der stationäre Zustand.). In unserem Fall beginnt die Genauigkeit bei einer sehr kleinen Zahl für den thermischen Höchstwert und erreicht eins, wenn das System ein vollständiges Kondensat wird.

Wie ich bereits erwähnt habe, gibt es viele weitere Details in der tatsächlichen Implementierung des Kühlprozesses, bitte sehen Sie sich die folgende Präsentation für einige zusätzliche Details an.