Annäherung von Summen als Integrale und divergente Terme

Question

Annäherung von Summen als Integrale und divergente Terme

Physik
Vielkörper
Integration
Annäherungen
Statistische Mechanik

DR10

Ich habe die folgende Summe (beachten Sie, dass die Summe bei 2 beginnt, dh es gibt keine Divergenz):

\sum_{ich = 2}^{N} C_{ich} \frac{\exp (- k | R_{ich} - R_{1} |)}{| R_{ich} - R_{1} |}

$\sum_{i=2}^{N}C_i\dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1| \right) }}{| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1|}$

Wo $\mathbf{R}_i$ sind Vektoren gehören $\mathbb{R}^3$ und sind in einem Volumen eingeschlossen $V$ (Sie stellen die Positionen einiger Atome dar). $C_i$ ist eine gut erzogene Funktion (wir könnten sie genauso gut als 1 annehmen).

Nehmen wir nun an, ich möchte diese Summe als Integral annähern, in der Grenze wo $N \rightarrow \infty$ und die Atome an Position $\mathbf{R}_i$ liegen dicht beieinander. Meine vorläufige Antwort wäre zu schreiben:

lim_{N \to \infty} \sum_{ich = 2}^{N} C_{ich} \frac{\exp (- k | R_{ich} - R_{1} |)}{| R_{ich} - R_{1} |} = \int_{v} D^{3} R \frac{\exp (- k | R - R_{1} |)}{| R - R_{1} |} ρ (R) C (R)

$\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=2}^{N}C_i \dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1| \right) }}{| \mathbf{R}_i-\mathbf{R}_1|} = \int_V d^3\mathbf{R} \dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}| \right) }}{| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}|} \rho(\mathbf{R}) C(\mathbf{R})$ Wo in dieser Grenze:

$\mathbf{R}:=\mathbf{R}_i$ , Und $\rho(\mathbf{R})=\dfrac{N}{V}$

Ist das irgendwie streng? Ich denke, es macht Sinn, da ich in der Statistischen Mechanik oft ein ähnliches Verfahren gesehen habe.

Nun, was ist mit dem Begriff $\mathbf{R}_i=\mathbf{R}_1$ ? In der Summe weicht dieser Term ab und ist nicht enthalten. Aber im Integral ist es irgendwie unmöglich, es auszuschließen, und es gibt kein Problem, da seine Divergenz durch die Integration in 3 Variablen aufgehoben zu werden scheint.

Gibt es eine Möglichkeit, mich davon zu überzeugen, dass der Fehler, den ich mache, vernachlässigbar ist?

Durch Symmetrie

Wie ermittelst du die Punkte?

R_{i}

$\mathbf{R}_i$ ? Was genau da passiert, nimmst du als Grenze

N \to \infty

$N\rightarrow\infty$ ? Ich gehe davon aus, dass die Antwort wahrscheinlich lautet , dass dies zum Cauchy-Prinzipwert des Integrals konvergieren wird (was Sie wahrscheinlich sowieso naiv berechnet hätten), aber je nachdem, wie streng Sie sein wollen, kann es ziemlich schmerzhaft sein, dies zu beweisen

DR10

Hier ist das Problem: die Punkte

R_{i}

$\mathbf{R_i}$ sind eine Ausgabe in der Berechnung, die ich mache. Ich denke, man kann davon ausgehen, dass sie vorläufig gleich weit voneinander entfernt sind. Besonders streng zu sein, ist nicht allein eine Anforderung, es geht vielmehr darum, die Aufnahme des Begriffs zu rechtfertigen

i = 1

$i=1$ . Bezüglich des Cauchy-Prinzipwerts: Kann ich sagen, dass, wenn das Integral so geschrieben konvergiert, es mit seinem Hauptwert übereinstimmt?

Durch Symmetrie

Wenn das Integral im üblichen Sinne konvergent ist, sollte es mit dem CPV übereinstimmen

DR10

Gibt es eine Möglichkeit, diese Kontinuumsgrenze als Grenze einer Riemann-Summe oder als Folge des Satzes von Euler McLaurin auszudrücken, um eine Schätzung des Fehlers zu erhalten?

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Annäherung von Summen als Integrale und divergente Terme

Wie ermittelst du die Punkte? $\mathbf{R}_i$ ? Was genau da passiert, nimmst du als Grenze $N\rightarrow\infty$ ? Ich gehe davon aus, dass die Antwort wahrscheinlich lautet , dass dies zum Cauchy-Prinzipwert des Integrals konvergieren wird (was Sie wahrscheinlich sowieso naiv berechnet hätten), aber je nachdem, wie streng Sie sein wollen, kann es ziemlich schmerzhaft sein, dies zu beweisen
Hier ist das Problem: die Punkte $\mathbf{R_i}$ sind eine Ausgabe in der Berechnung, die ich mache. Ich denke, man kann davon ausgehen, dass sie vorläufig gleich weit voneinander entfernt sind. Besonders streng zu sein, ist nicht allein eine Anforderung, es geht vielmehr darum, die Aufnahme des Begriffs zu rechtfertigen $i=1$ . Bezüglich des Cauchy-Prinzipwerts: Kann ich sagen, dass, wenn das Integral so geschrieben konvergiert, es mit seinem Hauptwert übereinstimmt?
Wenn das Integral im üblichen Sinne konvergent ist, sollte es mit dem CPV übereinstimmen
Gibt es eine Möglichkeit, diese Kontinuumsgrenze als Grenze einer Riemann-Summe oder als Folge des Satzes von Euler McLaurin auszudrücken, um eine Schätzung des Fehlers zu erhalten?

Martino · Answer 1

Machen Sie einen Ersatz $\mathbf R' = \mathbf R - \mathbf R_1$

\int_{v} D^{3} R \frac{\exp (- k | R - R_{1} |)}{| R - R_{1} |} ρ (R) C (R) = \int_{v^{'}} D^{3} R^{'} \frac{e^{- k | R^{'} |}}{| R^{'} |} ρ (R + R_{1}) C (R + R_{1})

$\int_V d^3\mathbf{R} \dfrac{\exp{\left(-k| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}| \right) }}{| \mathbf{R}-\mathbf{R_1}|} \rho(\mathbf{R}) C(\mathbf{R}) = \int_{V'} d^3\mathbf{R'} \dfrac{e^{-k| \mathbf{R}'| }}{| \mathbf{R}'|} \rho(\mathbf{R+\mathbf R_1}) C(\mathbf{R}+\mathbf R_1)$

Wenden wir uns nun Polarkoordinaten zu, die in zentriert sind $\mathbf R_1$ , mit $r' = |\mathbf R'|$ . Es könnte jetzt ziemlich schwer zu konvertieren sein $\rho$ Und $C$ in Polarkoordinaten in diesem Bezugsrahmen, abhängig von den Symmetrien Ihres Problems. Wenn, wie ich vermute, $\rho$ unbekannt ist und mit diesem Integral gefunden wird, dann sollten Sie kein Problem haben. Aber ich weiß es nicht, und ich hoffe, das hilft trotzdem.

. . . = \int R e^{- k R} ρ (R, θ, ϕ) C (R, θ, ϕ) D θ D ϕ D R .

$... = \int re^{-kr}\rho(r,\theta,\phi) C(r, \theta, \phi) \,d\theta d\phi dr.$

Beachten Sie, dass durch das Ändern von Koordinaten a eingeführt wurde $r^2$ Faktor.

Dies zeigt (es sei denn, ich übersehe etwas!), dass Ihr Integral nicht divergiert, wenn $\rho$ Und $C$ sind brav.

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Durch Symmetrie

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Martino

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