Summe zu einem Integral beim Ableiten des Gleichverteilungssatzes

Ich lese diese Ableitung des Gleichverteilungssatzes für ideale Gase. Auf der zweiten Seite wird erwähnt, dass die Partitionsfunktion eine einfache Summe ist,

Z = ∑ ich e − ε ich / k T

ist nicht ausreichend, um ein klassisches Gas zu beschreiben, da die Energieverteilung nicht diskret, sondern kontinuierlich ist. Stattdessen wird wo ein Integral benötigt

e − ε / k T

über Positionen und Impulse integriert, von denen Energie eine Funktion ist. Aber warum ist diese Umwandlung von einer Summe in ein Integral richtig?

Ich kann verstehen, warum ein Integral benötigt wird, da die Energieverteilung kontinuierlich ist. Aber warum ist es richtig, nur die Exponentialfunktion zu integrieren, um die Summe zu erhalten? Gibt uns das Integral nicht die Fläche unter der Kurve der Exponentialfunktion, das heißt (vielleicht nicht streng gesprochen) die Summe der Werte der Funktion an verschiedenen Punkten, multipliziert mit den Differentialen D X , anstatt die einfache Summe der Werte? Ich habe so etwas auch an anderen Orten gesehen, und es nervt mich.

Ein Integral ist auch der Grenzwert unendlich vieler infinitesimaler Terme

Antworten (2)

Immer wenn eine Summe zu einem Integral im kontinuierlichen Grenzwert wird, müssen Sie das Problem berücksichtigen, das durch diese Frage aufgeworfen wird. Gehen Sie im Zweifelsfall wie folgt in zwei Schritten vor.

  1. Schreiben Sie zuerst die Summe mit einem expliziten „Delta-Etwas“, um die Änderung des Index anzuzeigen, über den summiert wird. Im vorliegenden Beispiel:

Z = ∑ ich e − ϵ ich / k T δ ich

Der Wert davon δ ich ist 1 in dieser Summe.

  1. Als nächstes ersetzen δ ich durch das Produkt einer Dichte von etwas und einer Änderung in diesem Etwas. Im vorliegenden Beispiel sollten Sie fragen: „Wie viele Zustände gibt es pro Einheitsbereich von X , j , z Und P X , P j , P z ? Die Antwort ist ein Zustand pro Band H 3 des Phasenraums. Der Wert δ ich = 1 steht für das Einzählen Z Erhöhung um 1 Zustand, so ist die Beziehung

δ ich = δ X δ j δ z δ P X δ P j δ P z / H 3

was uns gibt

Z = ∑ ich e − ϵ ich / k T δ X δ j δ z δ P X δ P j δ P z / H 3

Nun kann der stetige Grenzwert genommen werden:

Z = ∫ e − ϵ ich / k T D X D j D z D P X D P j D P z / H 3

wobei das Integralzeichen in diesem Beispiel eine Abkürzung für sechs Integrale ist.

Das ist es. Um es noch einmal zu wiederholen: Dieses Problem tritt immer dann auf, wenn eine Summe zu einem Integral wird; es ist keine Besonderheit der kinetischen Theorie oder der statistischen Mechanik. Ich nehme an, einige Lehrbuchautoren gehen einfach davon aus, dass es sich um einen bekannten Aspekt dieses Bereichs der Mathematik handelt.

Okay, das macht Sinn! Es ging also wirklich um die richtige Normalisierung? Die Ableitung auf dem von mir bereitgestellten Link scheint diesen Faktor jedoch wegzulassen 1 / H 3 . Würden wir diesen Faktor hinzufügen, würde die Ableitung wie zuvor weitergehen und uns mit der durchschnittlichen Energie von verlassen 1 / H 3 ∗ 1 / 2 k T ?
Sie können Ihre eigene Frage beantworten, indem Sie den Faktor einsetzen, und dann den Rest der Ableitung durchgehen und sehen, was passiert. Sie werden das in dem von Ihnen angegebenen Link sehen, Buchstaben wie X Und P werden für dimensionslose Größen und Faktoren verwendet H wurden in die Konstante eingebaut C in der Energieformel ohne Kommentar. Ich würde Ihnen empfehlen, eher ein Lehrbuch als Webressourcen zu konsultieren, wenn Sie Zugang zu einem haben. Bücher werden tendenziell sorgfältiger und mit Liebe zum Detail geschrieben.

Aber warum ist diese Umwandlung von einer Summe in ein Integral richtig?

Es findet keine Konvertierung statt. Die Zustandssumme wird in der klassischen statistischen Physik als integral definiert , da die möglichen Zustände eine kontinuierliche Menge bilden und dies die natürlichste Definition ist.

In der statistischen Pseudo-Quanten- (oder alten Quanten-) Physik bedeutet "Zustand" in der Partitionsfunktion etwas anderes (ein Tupel aller Quantenzahlen, die den bevorzugten Quantenzustand definieren, wie nx, ny, nz für den harmonischen 3D-Oszillator, der die Hamilton-Eigenfunktion definiert, oder Besetzungszahlen aller Teilchenplätze) und alle diese möglichen Zustände bilden eine diskrete Menge, daher ist die natürlichste Definition eine Summe.

Summe zu einem Integral beim Ableiten des Gleichverteilungssatzes
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