Für einen Physiker ist ein Integral oft nichts anderes als eine „kontinuierliche Summe“. Die Anleitung$\sum_x f(x)$bedeutet oft eine tatsächliche Summe, wenn$x$aus einer abzählbaren Menge gezogen wird, aber ein ganzzahliges When$x$wird aus einer unzählbaren Menge gezogen.

Daher gibt es keine "Umwandlung" zwischen Ihren Ausdrücken - sie alle sind gültige Möglichkeiten, die Partitionsfunktion für verschiedene Arten von Systemen aufzuschreiben:

• Klassisches statistisches System, endlich viele Mikrozustände$i\in\{1,\dots,n\}$mit Energie$E_i$:$Z = \sum_i \mathrm{e}^{-\beta E_i}$

• Klassisches statistisches System, unendlich viele kontinuierliche Mikrozustände, gegeben durch Punkte$(q,p) \in \mathbb{R}^{6N}$im Phasenraum für$N$Partikel:$Z = h^{-3}\int \mathrm{e}^{-\beta H(q,p)}\mathrm{d}^{3N}x\mathrm{d}^{3N}p$.

Das Integral ist einfach die einzige Möglichkeit, etwas zu bekommen, das einer "Summe über alles" nahe kommt$(x,p)$" das mathematisch wohldefiniert ist und sich wie gewünscht verhält.

Gute Frage. Der Punkt ist das Rezept von Gibbs:

$$\rho \sim e^{-\beta H},$$ um die Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein klassisches System im thermischen Gleichgewicht zu erhalten, muss durch eine Vorschrift ergänzt werden, die uns sagt, wie wir Zustände zählen sollen, sodass die genaue Version des Rezepts lauten sollte: $$\text d P(s) = e^{-\beta H(s)}\text d N(s).$$ Mit anderen Worten, wir sollten immer ein Maß angeben $\text d N(s)$auf dem Raum der zulässigen Zustände $S$des Systems, für das der Boltzmann-Faktor $e^{-\beta H(s)}$wirkt als Dichte.

Dieser Punkt ist nicht ganz trivial. Zum Beispiel das kanonische Maß$\text d p \text d q$für ein hamiltonisches System mit Koordinaten$p$Und$q$hat den Vorteil, dass es in Bezug auf die kanonische Transformation forminvariant ist, und ist der kinematischen Beschreibung des Systems in gewisser Weise eigen (ich denke, das ist der Grund, es als "kanonisch" zu bezeichnen). Daher ist es ein gutes, vielleicht das einzige, Kandidatenmaß für das Zählen von Zuständen.

Allerdings kanonisch$(p,q)$-System sind nicht die einzigen klassischen Systeme, die es gibt. Vergleichen Sie zum Beispiel, was Feynman hier tut, um die Polarisation für ein Gas von Molekülen mit einem intrinsischen Dipol in einem externen elektrischen Feld zu berechnen. Vor Gl.$(1.15)$, Er behauptet, dass

[...] die relative Anzahl der Moleküle mit der potentiellen Energie$U$ist proportional zu"

$$e^{-\frac{U}{kT}}.$$

Anschließend spezialisiert er sich auf das jeweilige Problem:

[...] die Anzahl der Moleküle bei$\theta$pro Raumwinkeleinheit ist proportional zu$e^{−\frac{U}{kT}}$.

Hier die Staaten$s$sind die möglichen Orientierungen eines Einheitsvektors im dreidimensionalen Raum, dh der Einheitskugel$S^2$. Die natürliche Wahl für das Maß ist eindeutig der Raumwinkel$\text d \Omega$, die die Hypothese widerspiegelt, dass jede Orientierung im Raum a priori äquivalent sein sollte (oder anders ausgedrückt, die Existenz des elektrischen Feldes, das zu ungleichen Orientierungen im Raum führt, muss vollständig durch den Boltzmann-Faktor berücksichtigt werden$E$).

Auch beim Zählen von Zuständen von kanonischen (d. h.$p,q$)-Systemen gibt es eine schon Gibbs bekannte Mehrdeutigkeit, die sich aus der Frage ergibt, wie man Zustände identischer Teilchen zählen kann, und die zu den$\frac{1}{N!}$Faktoren in der Zustandssumme.

Jedenfalls sind diese Probleme meines Wissens allesamt etwas akademisch, da in der statistischen Quantenmechanik die Angabe des Dichteoperators völlig eindeutig ist:

$$\hat \rho =\frac {1}{Z}e^{-\beta \hat H}.$$ Daher hat man zumindest im Prinzip einen soliden Weg, um das "klassische" Maß zu erhalten $\text d N$ohne auf all diese (zugegebenermaßen schwammigen) argumente einzugehen: man muss das maß so wählen, dass es die quantenzustandssumme im grenzbereich hoher temperaturen wiedergibt.

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In Anbetracht dessen denke ich, dass das, was Sie in Ihrem speziellen Beispiel versuchen, nicht viel Sinn macht, weil Ihr System kein natürliches hat$(p,q)$Koordinaten. Vielleicht könnten Sie Ihr Problem als Annäherung bei niedriger Temperatur für ein Teilchen auf einem Gitter mit einem Nahbereichsbindungspotential betrachten$V_i$an jedem Ort, so dass wegen der niedrigen Temperatur die einzigen zugänglichen Zustände die Grundzustände jedes Potentials sind.

Das wird so aussehen, als käme es aus dem linken Feld, aber ich verspreche, es ist relevant!

Wahrscheinlichkeit und diskrete/kontinuierliche Zufallsvariablen.

Wahrscheinlich ist es sehr üblich, mit kontinuierlichen Zufallsvariablen zu arbeiten. Die Definition davon ist, dass sie eher eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als diskrete Wahrscheinlichkeiten für jedes gegebene Ergebnis haben. Die Definition ist also so$f$ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine Zufallsvariable$X$wenn für ein kleines$\Delta x$, die Wahrscheinlichkeit, dass$x < X < x + \Delta x$wird von gegeben$f(x)~\Delta x.$Das ist die Definition.

Dann können wir alle Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen, um eine zu bekommen,$\int_{-\infty}^\infty dx~f(x) = 1,$und wir können auch damit beginnen, Dinge wie die Erwartungsspanne zu definieren,$\langle q(X)\rangle = \int_{-\infty}^\infty dx~f(x)~q(x).$Für etwas Übung mit diesen Ideen, bevor wir weitermachen:

1. Beweisen Sie die übliche Abkürzungsformel für die Varianz: dass wenn$\bar X = \langle X \rangle$und wir definieren$\operatorname{Var}[X] =\langle (X - \bar X)^2\rangle,$Dann$\operatorname{Var}[X] = \langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2.$
2. Gegeben zwei Zufallsvariablen,$X, Y$, wir haben einen "gemeinsamen Vertrieb"$f(x,y)$so dass$x < X < x+\Delta x, y < Y < y +\Delta y$wird von gegeben$f(x,y)~\Delta x~\Delta y$. Nun könnte dies als faktorisierbar sein$g(x) h(y)$bei "unabhängigen Zufallsvariablen". Beweisen Sie das dann$\langle XY\rangle = \langle X\rangle\langle Y\rangle.$
3. Um zwei Zufallsvariablen zu addieren,$Z = X + Y$, können Sie die gemeinsame Verteilung falten;$h(z) = \int dx~f(x, z-x).$Beweisen Sie, dass der Erwartungswert von a$Z$wird von gegeben$\langle X + Y\rangle = \langle X \rangle + \langle Y\rangle$und das für unabhängige Zufallsvariablen,$\operatorname{Var}[X + Y] = \operatorname{Var}[X] + \operatorname{Var}[Y].$

Okay, jetzt wo Sie wissen, was diese Definition ist, haben wir Physiker ein grobes Werkzeug, um diese kontinuierlichen Wahrscheinlichkeiten zu verwenden, um diskrete Wahrscheinlichkeiten zu modellieren. Es ist eine Familie glatter Funktionen, die technisch nicht existieren, genannt "Dirac$\delta$-Funktion." In Worten:$\delta(x)$ist eine unendlich hohe, unendlich dünne Spitze, die bei Null zentriert ist, so dass das Integral darüber eins ist. In Mathematik,

$$\int_{u}^{v} dx~f(x)~\delta(x - x_0) = \left\{\begin{array}{ll} f(x_0)&\text{ if }u < x_0 < v,\\ -f(x_0)&\text{ if }v < x_0 < u,\\ 0&\text{ otherwise.} \end{array}\right.$$ (Obwohl Sie einen unbestimmten Fall erhalten, wenn$u = x_0$oder$v = x_0.$)

Einer davon kann beispielsweise ein Grenzwert eines Gaußschen Integrals mit Einheitsfläche sein,

$$\delta_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}~e^{-x^2/(2\sigma^2)},$$ und Sie können sich vorstellen, dass wir die gesamte mathematische Theorie mit diesem Ding als glatte Funktion ($\sigma > 0$) aber am Ende nehmen wir immer eine Grenze$\sigma \to 0$um die diskreten Antworten zu erhalten, die wir erwarten. Allerdings gibt es viele Funktionen, die sich auf den Dirac beschränken$\delta$-Funktion, es ist nicht nur die Gaußsche.

Jetzt, da Sie diesen Trick kennen, muss ich Ihnen nur noch sagen, dass Ihr normaler sechsseitiger Würfel eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hat,

$$\frac16\big[\delta(x-1) + \delta(x-2) + \delta(x-3) + \delta(x-4) + \delta(x-5) + \delta(x-6)\big].$$ Und dann, wenn Sie trainieren$\langle X \rangle$Sie werden Ihren Vertrauten bekommen$1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 3.5$Ausdruck, wie bei allen anderen Ausdrücken.

Ensembles und geheime Distributionen

Jetzt behaupte ich Ihnen, dass wir insgeheim eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum gewählt haben, und das bedeutet, dass wir ... eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion haben!

Wenn wir in der statistischen Mechanik von der Annahme der Entropiemaximierung ausgehen, müssen wir in einem ganz bestimmten Umstand beginnen, und diese Umstände werden "Ensembles" genannt. Dasjenige, von dem wir ausgehen müssen, ist das "mikrokanonische Ensemble", es sagt: "Es gibt eine sehr solide Box mit festem Volumen, keine Partikel gehen in die Box hinein oder aus ihr heraus, keine Energie geht in die Box hinein oder aus ihr heraus." Und dann sagen wir in diesem speziellen Fall, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Bündel von Teilchen$i$ist flach über dem darunter liegenden Phasenraum,$f(x_1, x_2,\dots, p_1, p_2,\dots) = c.$Die winzige Konstante$c$muss unter Umständen am Ende sogar auf 0 begrenzt werden! Aber das ist in Ordnung, was wir wirklich meinen, ist, dass die relativen Wahrscheinlichkeiten, A oder B zu sehen, proportional zu ihren Phasenraumvolumina sind.

Die Tatsache, dass dies konstant ist , ist der Grund, warum es nicht in Ihrem ersten Ausdruck für die Partitionsfunktion erscheint, aber ich behaupte, dass es da ist und dass die generische Form vorhanden ist

$$Z = \int d^\text D p~d^\text D x ~f(x_1,\dots,x_D,p_1,\dots,p_D)~e^{-\beta H(x_1,\dots,p_1,\dots)}.$$ Sie sehen es nicht, weil es eine Konstante ist, die aus dem Integral herausgezogen und stillschweigend in den anderen Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung geschoben wurde (denken Sie daran, dass Wahrscheinlichkeiten immer sind$e^{\beta ~H}/Z$...).

Wenn Sie eine Summe von gleichgewichteten Dirac schlagen$\delta$-Funktionen in für$f$, entsprechend dem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum von "dieses Ding kann in Konformation X oder Konformation Y sein, aber es gibt keinen kontinuierlichen Pfad zwischen den beiden), erhalten Sie stattdessen Ihren zweiten Ausdruck, wieder mit einer multiplikativen Konstante, die aus der Definition für gezogen wird der Bequemlichkeit halber.

Die folgende Annahme wird in einigen Büchern der statistischen Mechanik ganz am Anfang verwendet und hat nichts mit der kanonischen Gesamtheit zu tun:

"Die Phase kann in kleine Teile aufgeteilt werden$C_i$jeweils mit Volumen$h^3$so dass$H$ist jeweils konstant$C_i$und nimmt Wert$H_i$drauf".

Mit dieser Annahme lässt sich die stetige Formel vereinfachen:

$$\frac{1}{h^3}\int dpdr e^{-\beta H}= \frac{1}{h^3}\sum_i \int_{C_i}dpdr e^{-\beta H} = \sum_i \frac{1}{h^3}\int_{C_i}dpdr e^{-\beta H_i} = \sum_i e^{-\beta H_i}\frac{1}{h^3}\int_{C_i}dpdr$$

$C_i$hat Volumen$h^3$ist äquivalent zu$\int_{C_i}dpdr=h^3$

Endlich:

$$\frac{1}{h^3}\int dpdr e^{-\beta H}= \sum_i e^{-\beta H_i}$$

Es geht nur darum, eine stetige Funktion durch eine Stufenfunktion zu approximieren .

Zunächst einmal kann der Ausdruck für die Zustandssumme in der Quantenmechanik in Form eines Integrals ausgedrückt werden. Die Partitionsfunktion ist

$$Z = \text{Tr} \ e^{-\beta H}.$$

Dieser Trace kann auf beliebiger Basis ausgewertet werden. In die Basis, wo der Hamiltonoperator diagonal ist, schreiben wir$Z = \sum_i e^{-\beta E_i}$, Wo$E_i$sind die Eigenwerte der Energien und die Summe ist über alle Zustände. Allerdings auf anderer Basis, zum Beispiel der$x$-Basis werden wir schreiben,

$$Z = \int dx \langle x| e^{-\beta H} |x\rangle .$$ Mein Punkt ist, dass wir selbst in der Quantenmechanik eine integrale Form erhalten, wenn wir die Berechnung auf kontinuierlicher Basis durchführen.

Nun, ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass die Frage nicht wirklich lautet, wie man von einer diskreten Form zu einer kontinuierlichen Form kommt, sondern eher, wie man von einer quantenmechanischen Form zu einer klassischen Form kommt. Ich denke, der einfachste Weg, diese Verbindung zu erkennen, besteht darin, einen Pfad zu formulieren, der integral zur Partitionsfunktion ist, und die klassische Grenze zu nehmen. Dies wurde in dem klassischen Buch von Feynman und Hibbs in Kapitel 9 über statistische Mechanik diskutiert.