Statistische Mechanik und thermische Mittelwerte im μ−μ−\mu-Raum und Γ−Γ−\Gamma-Raum

Die genaue Beziehung ist gegeben durch$f(q,p,t)=\int \rho(q^N,p^N,t)\delta(q-Q)\delta(p-P)dq^Ndp^N$, Wo$Q$ist der Massenmittelpunkt von$q^N=(q_1,\ldots,q_N)$, Und$P$ist der Gesamtimpuls, die Summe von$p^N=(p_1,\ldots,p_N)$. Mit dieser Identifikation ergeben beide Formeln bei Anwendung auf einen 1-Teilchen-Operator den gleichen Erwartungswert.

Kommentar: Können Sie erklären, was Γ-Raum und μ-Raum sind? – Knzhou

Lassen Sie uns definieren$\mu$-Raum als Phasenraum eines Teilchens (Atom oder Molekül). Der Phasenraum des Makrosystems ($\Gamma$-Leerzeichen) ist gleich der Summe von$\mu$-Leerzeichen.

Der Satz möglicher Mikrozustände kann durch einen kontinuierlichen Satz von Phasenpunkten dargestellt werden. Jeder Punkt kann sich von selbst auf einer eigenen Phasenbahn bewegen, die auf einer Fläche konstanter Energie (ergodische Fläche) liegt. Das Gesamtbild dieser Bewegung besitzt einige interessante Merkmale, die am besten in Bezug auf das, was wir eine Dichtefunktion nennen, geschätzt werden können$\rho(q,p;t)$.

Diese Funktion ist so definiert, dass jederzeit$t$, die Anzahl der repräsentativen Punkte im „Volumenelement“ ($d^{3N}\!q \;\; d^{3N}\!p$) um den Punkt ($q,p$) des Phasenraums ist durch das Produkt gegeben$\rho(q,p;t) \, d^{3N}\!q \;\; d^{3N}\!p$).

Ganz klar die Dichtefunktion$\rho(q,p;t)$symbolisiert die Art und Weise, in der die Mitglieder des Ensembles zu verschiedenen Zeitpunkten über verschiedene mögliche Mikrozustände verteilt sind.

Frage: Welche Beziehung besteht zwischen diesen beiden Durchschnittswerten, falls es eine gibt? Manchmal diskutiert man statistische Eigenschaften eines Systems unter Verwendung des μ−Raums und manchmal unter Verwendung des Γ−Raums, was mich verwirrt.

Siehe: „ Γ-Raum und μ-Raum – zwei Räume “, Wikipedias „ Der Mikrozustand im Phasenraum “, „ Moderne Thermodynamik mit statistischer Mechanik, von Carl S. Helrich “ (Seite 155), und Wikipedias „ Thermodynamik und statistische Mechanik “:

„Im Kontext der Thermodynamik und der statistischen Mechanik hat der Begriff Phasenraum zwei Bedeutungen: Er wird im gleichen Sinne verwendet wie in der klassischen Mechanik. Besteht ein thermodynamisches System aus N Teilchen, dann beschreibt ein Punkt im 6N-dimensionalen Phasenraum die Dynamik Zustand jedes Teilchens in diesem System, da jedem Teilchen drei Ortsvariablen und drei Impulsvariablen zugeordnet sind. In diesem Sinne wird ein Punkt im Phasenraum, solange die Teilchen unterscheidbar sind, als Mikrozustand des Systems bezeichnet. ( Für nicht unterscheidbare Teilchen besteht ein Mikrozustand aus einer Menge von N! Punkten, die allen möglichen Austauschmöglichkeiten der N Teilchen entsprechen.) N liegt typischerweise in der Größenordnung der Avogadro-Zahl, daher ist die Beschreibung des Systems auf mikroskopischer Ebene oft unpraktisch zur Verwendung des Phasenraums in einem anderen Sinne.

Der Phasenraum kann sich auch auf den Raum beziehen, der durch die makroskopischen Zustände des Systems wie Druck, Temperatur usw. parametrisiert ist. Man kann beispielsweise das Druck-Volumen-Diagramm oder das Entropie-Temperatur-Diagramm als einen Teil dieser Phase beschreibend ansehen Raum. Ein Punkt in diesem Phasenraum wird entsprechend als Makrozustand bezeichnet. Es kann leicht mehr als einen Mikrozustand mit demselben Makrozustand geben. Beispielsweise könnte das System für eine feste Temperatur viele dynamische Konfigurationen auf mikroskopischer Ebene haben. In diesem Sinne ist eine Phase ein Bereich des Phasenraums, in dem sich das betreffende System beispielsweise in der flüssigen Phase oder in der festen Phase usw. befindet.

Da es viel mehr Mikrozustände als Makrozustände gibt, ist der Phasenraum im ersten Sinn normalerweise eine Mannigfaltigkeit mit viel größeren Dimensionen als im zweiten Sinn. Offensichtlich sind viel mehr Parameter erforderlich, um jedes Detail des Systems bis auf die molekulare oder atomare Skala zu erfassen, als beispielsweise nur die Temperatur oder den Druck des Systems anzugeben.

Der eine ist der Durchschnitt eines Systems und der andere der Durchschnitt des Ensembles .