Anzahl von Mikrozuständen, die Zwei-Niveau-Quantensystemen zugeordnet sind

Es gibt verschiedene Begriffe von Mikrozuständen oder Unterscheidbarkeit, die für Ihre Frage relevant sein könnten.

Grobkörnung des Phasenraums in Planck-Zellen.

Betrachten Sie zwei klassische Variablen$x$Und$p$mit$x \sim x+x_0$Und$p \sim p+p_0$. Sie können sich dieses System so vorstellen, dass es ein Teilchen beschreibt, das auf einem Radiuskreis lebt$x_0$und wobei der Impuls ebenfalls nur bis zu Vielfachen von definiert ist$p_0$. Eine physikalische Realisierung dieser Situation liefert ein Teilchen, das sich auf einem diskreten Gitter mit periodischen Randbedingungen bewegt.

Wir können den klassischen Lagrangian in der suggestiven Form schreiben$L = \dot{x} p - H$was bedeutet, dass$p$ist konjugiert zu$x$. Das Volumen des Phasenraums ist endlich und gegeben durch$x_0 p_0$. Teilen des Phasenraums in Planck-Volumenzellen$h$gibt uns$N = x_0 p_0 / h$Zustände. Dies ist die semiklassische Schätzung.

Nun wenden wir uns der vollständigen Quantentheorie zu. Betrachten Sie die Operatoren$X = e^{i 2\pi x/x_0}$Und$P = e^{i 2\pi p/p_0}$. Diese Operatoren erfüllen$PX = XP e^{i 4\pi^2 \hbar/(x_0 p_0)} = XP e^{ 2\pi i /N}$. Beginnend mit einem Zustand$|0\rangle$befriedigend$P|0\rangle = |0\rangle$wir können neue Zustände schaffen, indem wir mit handeln$X$. Der Staat$X^n |0\rangle$erfüllt$P X^n |0\rangle = e^{ 2 \pi i n/N} X^n |0\rangle$, also der Staat$X^N |0\rangle$ist proportional zu$|0\rangle$. So haben wir genau konstruiert$N$Zustände des Formulars$\{|0\rangle, X|0\rangle, ..., X^{N-1} |0\rangle \}$mit der exakten Quantenoperatoralgebra. Was wir gezeigt haben, ist, dass die semiklassische Schätzung in diesem Beispiel die korrekte vollständige Quantenzustandszählung ergibt.

Eine Antwort auf Ihre ursprüngliche Frage ist dann, dass ein Zwei-Niveau-System als zwei Planck-Zellen des Phasenraums verstanden werden kann.

Zählen teilweise orthogonaler Quantenzustände.

Natürlich gibt es eine unendliche Anzahl von Quantenzuständen, wie sie durch die Bloch-Sphäre parametrisiert sind - jeder Punkt ist etwas anders. Die meisten dieser Zustände sind jedoch nicht orthogonal. Wir können fragen, wie viele verschiedene Wahlmöglichkeiten von Parametern Zustände ergeben, die sind$\epsilon$-orthogonal zB die Größe der größten Menge$\{|\psi_i \rangle \}$mit$|\langle \psi_i | \psi_j \rangle| \leq \epsilon$für$i \neq j$. Offensichtlich für$\epsilon \rightarrow 0$wir erhalten so etwas wie die Dimension des Hilbert-Raums. Zum Beispiel die Ein-Parameter-Zustandsfamilie$|\theta\rangle = \cos{\theta} |0 \rangle + \sin{\theta}|1\rangle$erfüllt$\langle \theta | \theta'\rangle = \cos{(\theta-\theta')}$. Wenn$\epsilon = 0$dann können wir nur wählen$\theta=0,\pi/2$. Andererseits, wenn$\epsilon = 1- \delta$dann haben wir$\cos{(\Delta \theta)} < 1 - \delta$($\Delta \theta$ist der Abstand zwischen benachbarten$\epsilon$-orthogonale Zustände) oder$\Delta \theta > \sqrt{2 \delta}$($\Delta \theta$klein angenommen). Dies impliziert, dass wir ungefähr haben$2\pi/ \Delta \theta$ $\epsilon$-orthogonale Zustände. Das sieht man daran, dass wir immer mehr nahezu parallele Zustände zulassen, die Zahl der$\epsilon$-orthogonale Zustände nimmt zu.

Eine allgemeine Schätzung für die Anzahl$\epsilon$-orthogonale Zustände in a$D$dimensionaler Hilbert-Raum ist$(1-\epsilon)^{-D/2}$für$1-\epsilon$klein. Grob gesagt vertuschen wir die$D$dimensionaler Raum mit kleinen sphärischen Radiusklumpen$\sqrt{1-\epsilon}$und Volumen$(1-\epsilon)^{D/2}$. Genauer gesagt, das Volumen von a$D$dimensionale Sphäre der Einheitsradius ist ungefähr$\frac{2 \pi^{(D+1)/2}}{\Gamma((D+1)/2)}$während die Lautstärke ein kleiner Brocken ist$\frac{2 \pi^{D/2}}{D \Gamma(D/2)} (1-\epsilon)^{D/2}$. Das Packen der Brocken so dicht wie möglich ergibt ungefähr$(1-\epsilon)^{-D/2}$Zustände. Dies ist der Ursprung der Aussage, dass in einem System von$n$Qubits, wo$D=2^n$, wächst die Zahl der unterscheidbaren Zustände doppelt exponentiell in$n$dh wie$(1-\epsilon)^{-2^n}$.

Die Vorstellung von$\epsilon$-Orthogonale Zustände bieten dann eine weitere Möglichkeit, die Anzahl der Zustände im Hilbert-Raum zu quantifizieren. Wir wollen wahrscheinlich nicht sagen, dass die Anzahl der Zustände physikalisch unendlich ist, da benachbarte Zustände in Bezug auf physikalische Eigenschaften fast identisch sind. Andererseits könnte das Erfordernis strenger Orthogonalität auch eine zu strenge Anforderung sein.

von Neumann-Entropie.

Ganz allgemein ist die von Neumann-Entropie eines beliebigen gemischten Zustands eines einzelnen Qubits begrenzt durch$\ln{2}$(oder$1$unter Verwendung des Basis-Zwei-Logs). Die Entropie ist in vielerlei Hinsicht ein weiteres gutes Maß für Mikrozustände. Ein Beispiel: Im Zusammenhang mit der Quantenkommunikation ist das Theorem von Holevo ein Ergebnis, das zeigt, dass ein einzelnes Qubit in bestimmten Kommunikationsprotokollen nicht mehr als ein klassisches Bit wert ist, obwohl die Wellenfunktion formal unendlich viele Informationen benötigt, um die komplexen Amplituden anzugeben .

Es ist irreführend zu schreiben$\rho_i$für die Bestandteile von$\psi$, und da es sich um komplexe Zahlen handelt, können Sie diese nicht in der Formel für die Entropie verwenden.

Der Raum der Wellenfunktionen ist (nicht$[0,1]\times S^1$aber) die Poincare-Sphäre (oder Bloch-Sphäre) S^2, parametrisiert durch Quaternionen (entsprechend Punkten auf dem komplexen Kreis).
http://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere

Die Wahrscheinlichkeiten sind$\rho_j=|\psi_j|^2$und addieren sich zu 1. Die Shannon-Entropie gilt mit dieser Definition von$\rho$. (Beachten Sie, dass ein reiner Zustand im Sinne der statistischen Mechanik nur dann eine Entropie von Null hat, wenn er ein Eigenzustand des Hamilton-Operators ist und wenn die betrachteten Wahrscheinlichkeiten in der entsprechenden Eigenbasis liegen.)

Bearbeiten: In der statistischen Quantenmechanik hat ein Gleichgewichtszustand eine Dichtematrix, die mit dem Hamiltonian pendelt; die Diagonalelemente in der Eigenbasis bestimmen die Wahrscheinlichkeiten. Als zugängliche Zustände in der Entropieformel kommen nur Eigenzustände infrage.

Die einzigen reinen Zustände, die mit dem Hamiltonoperator kommutieren, sind die Zustände$\rho=\psi\psi^*$mit Eigenzustand$\psi$; in diesen Zuständen verschwinden alle bis auf eine Wahrscheinlichkeit, und die Entropie ist Null. Diese Situation gilt für ein 2-Zustandssystem, das Hamiltonoperator ist$H=\pmatrix{E_0 & 0\\0 & E_1}$in der Eigenbasis von$H$, Und$E_0<E_1$wird angenommen. In diesem Fall existieren genau zwei Eigenzustände, also sind genau zwei Zustände zugänglich, es sei denn, das System befindet sich bereits in einem der reinen Eigenzustände.

Ein beliebiger Zustand mit einer nicht diagonalen Dichtematrix ist nicht im Gleichgewicht, daher fehlt der Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten eine einfache Interpretation, obwohl sie formal möglich ist. Unterschiedliche reine Zustände können dieselben Wahrscheinlichkeiten haben oder nicht; sie können nicht allein aufgrund von Wahrscheinlichkeiten (oder Entropie) unterschieden werden. Ein reiner Nichtgleichgewichtszustand hat immer eine positive Entropie, da alle Eigenzustände, zu denen er nicht orthogonal ist, zugänglich sind.

Die Anzahl der Zustände in diesem zweistufigen Hilbert-Raum ist unendlich und nicht zählbar. Ich denke, das ist sehr klar, weil$\rho_0=\sqrt{1-\rho_1^2}\in[0,1]$Und$\theta_1\in[0,2\pi]$sind zwei stetige Variablen. Die Frage ist ähnlich wie "wie viele Funktionswerte von$\sin(x)$mit$x\in[0,\pi]$?".