Mehrdeutigkeit der groben Körnung im klassischen Stat Mech?

Ich würde sagen, dass es bei dieser Frage nicht so sehr um die grobe Körnung geht, als vielmehr um die Auswahl des richtigen Maßes im Phasenraum - beispielsweise des Maßes$dx \, dp$(gleich$r \,dr\, d\theta$in Ihrem Beispiel) gegenüber dem Maß$dr \, d\theta$. Das von Ihnen gewählte Maß wirkt sich darauf aus, wie Sie grob in Zellen mit gleichem Volumen aufteilen, oder umgekehrt wirkt sich Ihre Wahl von Zellen mit gleichem Volumen darauf aus, was Sie als Kontinuumsmaß definieren möchten.

Das Besondere am Standardmaß$dx \, dp$im Phasenraum? Hier ist eine nette Eigenschaft: Sie wird durch den Satz von Liouville unter der Hamiltonschen (Zeit-)Evolution im Phasenraum bewahrt. Lassen Sie uns jetzt zurückgehen und sehen, warum das relevant ist.

Wir suchen das Maß für den Phasenraum, das uns bei der Berechnung der Zustandssumme in der statistischen Mechanik das richtige Ergebnis liefert. Die Zustandssumme ergibt sich bei der Betrachtung des kanonischen Ensembles. Wir könnten stattdessen im kanonischen Ensemble fragen, warum ist$dx \, dp \,e^{-\beta H(x,p)}$das richtige Wahrscheinlichkeitsmaß über dem Phasenraum? (Dann folgt die Definition der Zustandssumme.)

In der Zwischenzeit wird das kanonische Ensemble normalerweise abgeleitet, indem angenommen wird, dass das System Teil eines größeren Supersystems aus System + Umgebung ist, wobei sich das Supersystem im mikrokanonischen Ensemble bei fester Energie befindet. Welche Wahrscheinlichkeitsdichte sollten wir also für ein allgemeines System bei fester Energie wählen? Das heißt, wie sollten wir das mikrokanonische Ensemble definieren? Nun, es liegt im Grunde an uns. Wir suchen nach einer guten empirischen Beschreibung von Gleichgewichtssystemen.

Da wir davon ausgehen, dass sich das System im Gleichgewicht befindet, sollte sich das Maß, das wir auf der Energiehülle wählen, im Laufe der Zeitentwicklung nicht ändern. Nehmen wir an, wir wissen, dass unser System Energie in einem kleinen Fenster hat$(E,E+\Delta E)$. Das entspricht einer verdickten Energiehülle im Phasenraum. Ich verwende nur eine verdickte Energiehülle, damit die Hülle nicht Null (unendlich dünn) in Bezug auf die Messung im umgebenden Phasenraum ist. Dies ist eine Feinheit im Zusammenhang mit der Frage , warum nach dem Satz von Liouville das Maß auf einer Energiefläche anders ist als das Maß auf dem Phasenraum im Allgemeinen . Ich möchte die Diskussion vereinfachen, indem ich nur sage: Annahme$\Delta$ist sehr klein, aber ungleich Null.

Wenn wir die Maßnahme wählen$dx \, dp$auf der Energiehülle, dann wissen wir, dass sich dieses Maß nach dem Satz von Liouville im Laufe der Zeitentwicklung nicht ändern wird. Es ist also ein guter Kandidat für unser Gleichgewichtsmaß. Gibt es noch andere Maße, die durch den Hamiltonschen Fluss invariant bleiben? Die Antwort ist nein, solange wir eine entscheidende Annahme treffen: Wir gehen davon aus, dass jeder Zustand in der Energiehülle – irgendwann in der Zukunft – jedem anderen Zustand in der Energiehülle willkürlich nahe kommen wird. (So ​​etwas wie diese Annahme ist notwendig, denn wenn es mehr Erhaltungsgrößen gäbe – wenn bestimmte Regionen der Energiehülle im Laufe der Zeitentwicklung nie andere Regionen erreicht hätten – wäre das mikrokanonische Ensemble wahrscheinlich zunächst ein schlechtes Modell.)

Um zu sehen, warum es ein eindeutiges Maß auf der Energiehülle gibt, das unter Hamilton-Fluss invariant ist, stellen Sie sich ein anderes Maß vor$f(x,p) dx \, dp$. Wenn dieses Maß unter der Zeitentwicklung unveränderlich ist und die Zeitentwicklung jeden Punkt einnimmt$(x,p)$in der Energiehülle also willkürlich nahe an jedem anderen Punkt$f(x,p)$muss konstant sein.

So$dx \, dp$ist das richtige Maß für das mikrokanonische Ensemble. Wenn Sie die kanonische Gesamtheit auf einem System von der mikrokanonischen Gesamtheit auf einem Supersystem ableiten, ist das Maß$dx \, dp$auf dem Supersystem ergibt letztendlich das Maß$dx \, dp e^{-\beta H(x,p)}$auf dem System.

All diese Diskussionen waren klassisch, was in Ordnung ist, weil wir gerne in der Lage wären, statistische Mechanik klassisch zu machen. Sie könnten sich jedoch auch fragen, warum diese Wahl des Maßes im klassischen Phasenraum statistische Ergebnisse liefert, die denen nahe kommen, die wir unter Verwendung der quantenstatistischen Mechanik ableiten würden. Es gibt verschiedene Ansätze zu den Grundlagen der statistischen Quantenmechanik, zB https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0511225.pdf . Wie auch immer, ich denke, das Hauptmerkmal der Maßnahme$dx \, dp$Was klassische statistische mechanische Ergebnisse mit quantenstatistischen mechanischen Ergebnissen übereinstimmen lässt, ist, dass die Anzahl der orthogonalen Quantenzustände, die einem kleinen Bereich des Phasenraums entsprechen, ungefähr proportional zum Volumen des Bereichs ist, wie mit gemessen$dx \, dp$.