Zustandssumme in der klassischen Thermodynamik

Der Faktor von$V$kommt von der Integration vorbei$\mathrm d\vec x$(da wir davon ausgehen, dass der Hamiltonoperator positionsunabhängig ist). Andererseits sind die Faktoren von$2\pi$Und$\hbar$sind im Wesentlichen irrelevant: Sie interessieren sich nur für die Ableitungen des Logarithmus der Zustandssumme, und daher fällt jeder globale Faktor immer weg: Sie können die Zustandssumme mit jedem (von Null verschiedenen, temperaturunabhängigen) Faktor multiplizieren, und die Physik bleibt gleich .

Am Ende rechnet man$Z$in der klassischen Mechanik, und so sollten die messbaren Vorhersagen nicht davon abhängen$\hbar$. Damals, in den Tagen von Boltzmann, Gibbs usw., benutzten sie eine willkürliche Konstante mit Aktionseinheiten, um sie zu machen$Z$dimensionslos. Der Wert einer solchen Konstante ist irrelevant (Vorhersagen hingen damals nicht davon ab; sie tun es heute noch nicht). Wir identifizieren ihre willkürliche Konstante jetzt mit der Planckschen Konstante, weil sie die richtigen Dimensionen hat, und dies ist der Faktor, den Sie durch das Zählen von Mikrozuständen in QM erhalten (auch hier können Sie ein beliebiges Vielfaches von verwenden$\hbar$, da sich globale Koeffizienten beim Bilden von Ableitungen immer aufheben).