Kontinuumsfeldtheorie für das Ising-Modell

Question

Kontinuumsfeldtheorie für das Ising-Modell

Physik
ising-Modell
Feldtheorie
Gittermodell
Partitionsfunktion
Statistische Mechanik

Kai

Mein Problem ist, die zu nehmen $d$ -dimensionaler Ising-Hamiltonian,

H = - \sum_{ich, J} σ_{ich} J_{ich, J} σ_{J} - \sum_{ich} {\tilde{H}}_{ich} σ_{ich}

$H = -\sum_{i,j}\sigma_i J_{i,j} \sigma_j - \sum_{i} \tilde{h}_i \sigma_i$ Wo

J_{i j}

$J_{ij}$ ist eine Matrix, die die Kopplungen zwischen Standorten beschreibt

i

$i$ Und

j

$j$ . Wenden Sie eine Hubbard-Stratonovich-Transformation an und schreiben Sie die Partitionsfunktion um als

Z = N_{0} \int D^{N} ψ \exp {- [\frac{1}{4} \sum_{ich, J} ψ_{ich} K_{ich J} ψ_{J} - \sum_{ich} \ln [cosch (H_{ich} + ψ_{ich})]]}

$Z = N_0 \int d^N \psi \exp\left\{-\left[\frac{1}{4}\sum_{i,j} \psi_i K_{ij} \psi_j - \sum_{i} \ln[\cosh(h_i+\psi_i)]\right]\right\}$ Wo

N_{0}

$N_0$ ist eine Gesamtnormalisierungskonstante,

K_{i j} = (β J_{i j})^{- 1}

$K_{ij} = (\beta J_{ij})^{-1}$ , Und

h_{i} = β {\tilde{h}}_{i}

$h_i = \beta\tilde{h}_i$ . So viel ist relativ einfach. Wir schreiben das Feld als

ψ_{i} = ϕ_{i} - h_{i}

$\psi_i = \phi_i - h_i$ , und das können wir zeigen

⟨ ϕ_{i} ⟩ \propto J_{i j} ⟨ σ_{j} ⟩

$\left<\phi_i\right> \propto J_{ij} \left<\sigma_j\right>$ , dh es kann vor Ort als "mittleres Feld" interpretiert werden

i

$i$ aufgrund der Interaktion mit allen anderen Websites.

Als nächstes nehmen wir an, dass die Variation im Feld gering ist, $\left|\phi_i\right|<<1$ , legen wir fest $h_i = 0$ , und erweitern $\ln \cosh(x) \approx \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^4$ zu bekommen

Z \approx N_{0} \int D^{N} ψ \exp {- [\frac{1}{4} \sum_{ich, J} ϕ_{ich} K_{ich J} ϕ_{J} - \sum_{ich} [\frac{ϕ_{ich}^{2}}{2} - \frac{ϕ_{ich}^{4}}{12}]]}

$Z \approx N_0\int d^N\psi \exp\left\{-\left[\frac{1}{4}\sum_{i,j}\phi_i K_{ij} \phi_j - \sum_i \left[\frac{\phi_i^2}{2} - \frac{\phi_i^4}{12}\right]\right]\right\}$

Jetzt nehmen wir die Kontinuumsgrenze in Einheiten, in denen der Gitterabstand eins ist, und kennzeichnen jede Stelle durch ihre Position $\mathbf{r}$ , was gibt

Z \to N \int D ϕ \exp {- \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \int D R D R^{'} ϕ (R) K (R - R^{'}) ϕ (R^{'}) - \int D R [ϕ (R)^{2} - \frac{ϕ (R)^{4}}{6}]]}

$Z\rightarrow \mathcal{N} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}'\,\phi(\mathbf{r}) K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \phi(\mathbf{r}') - \int d\mathbf{r}\,\left[\phi(\mathbf{r})^2 - \frac{\phi(\mathbf{r})^4}{6}\right]\right]\right\}$

Hier bin ich mir nicht sicher, wie ich weiter vorgehen soll. Mir wurde gesagt, ich solle expandieren $\phi(\mathbf{r}')$ als kleine Abweichung vom Wert bei $\mathbf{r}$ , dh

ϕ (R^{'}) \approx ϕ (R) + (X_{μ}^{'} - X_{μ}) \partial_{μ} ϕ (R) + \frac{1}{2} (X_{μ}^{'} - X_{μ}) (X_{v}^{'} - X_{v}) \partial_{μ} \partial_{v} ϕ (R) + \dots

$\phi(\mathbf{r}') \approx \phi(\mathbf{r}) + (x_\mu'-x_\mu)\partial_\mu \phi(\mathbf{r}) + \frac{1}{2}(x_\mu' - x_\mu)(x_{\nu}'-x_\nu)\partial_\mu \partial_\nu \phi(\mathbf{r}) + \cdots$ und führe die Fourier-Transformation ein

\tilde{K} (q) = \int d r K (r) e^{- i q \cdot r}

$\tilde{K}(\mathbf{q}) = \int d\mathbf{r} K(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}$ und schreiben Sie die Kontinuumsaktion als

S = \int D^{D} R [C_{1} {(\partial ϕ)}^{2} + C_{2} ϕ^{2} + C_{4} ϕ^{4}]

$S = \int d^d\mathbf{r} \left[c_1 \left(\partial \phi\right)^2 + c_2 \phi^2 + c_4 \phi^4\right]$ und finden Sie die Koeffizienten in Bezug auf

\tilde{K} (0)

$\tilde{K}(0)$ Und

{\tilde{K}}^{″} (0)

$\tilde{K}''(0)$ .

Ich glaube, dass ich das behaupten kann $K$ ist nur eine Funktion von $\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|$ , in welchem Fall $K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')(x_\mu'-x_\mu)$ ist seltsam an dem Punkt $\mathbf{r}$ , und so Integration über $d\mathbf{r}'$ (behandeln $\mathbf{r}$ als Konstante) tötet jeden Term außer denen, die vom Quadrat der Differenz abhängen, und lässt mich zurück

\int D R D R^{'} ϕ (R) K (R - R^{'}) ϕ (R^{'}) = \int D R D R^{'} K (R - R^{'}) (ϕ (R)^{2} + \frac{1}{2} (X_{μ}^{'} - X_{μ})^{2} ϕ (R) \partial_{μ}^{2} ϕ (R))

$\int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}'\,\phi(\mathbf{r}) K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \phi(\mathbf{r}') = \int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\left(\phi(\mathbf{r})^2 + \frac{1}{2}(x_\mu'-x_\mu)^2\phi(\mathbf{r})\partial_\mu^2 \phi(\mathbf{r})\right)$

Mit dem ersten Begriff kann ich umgehen, aber mit dem zweiten Begriff weiß ich nicht, wie ich damit umgehen soll.

lcv

Allgemein

K_{i j}

$K_{ij}$ ist die Adjianzmatrix des nächsten Nachbargraphen. Der Unterschied zwischen Ihren Variablen

x^{'} - x = a

$x’-x=a$ ist die Gitterkonstante. Aus diesem Begriff ergibt sich daher der „kinetische“ Begriff der Feldtheorie

Kai

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das einfach so sagen kann

(x_{μ}^{'} - x_{μ})

$(x_\mu' - x_\mu)$ ist die Gitterkonstante (die ich auf 1 gesetzt habe) für die Zwecke der Integration. Ich gehe davon aus, dass ich irgendwie konvertieren kann

\int d r^{'} K (r - r^{'}) (x_{μ}^{'} - x_{μ})^{2} \sim {\tilde{K}}^{″} (0)

$\int d\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') (x_\mu'-x_\mu)^2 \sim\tilde{K}''(\mathbf{0})$ , und Integrieren von Teilen Ich kann eine der verschieben

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ auf die andere

ϕ (r)

$\phi(\mathbf{r})$ ein bekommen

(\partial_{μ} ϕ)^{2}

$(\partial_\mu\phi)^2$ Begriff. Ich bin mir nur nicht sicher, wie ich es machen soll.

Kai

Was ich oben aufgenommen habe, ist die Art und Weise, wie mir das Problem präsentiert wurde. Ich denke, es wäre besser, den Gitterabstand explizit zu belassen und die Grenze dafür zu nehmen

a \to 0

$a\rightarrow 0$ , da dies eine "grobkörnige" mittlere Feldtheorie sein soll

Michael Paris

Ich komme zu spät zur Party, aber wenn die Schwankung im Feld gering ist, können Sie einfach alle höheren Ableitungen fallen lassen, was den zweiten Term zunichte macht.

Antworten (1)

Kontinuumsfeldtheorie für das Ising-Modell

Allgemein $K_{ij}$ ist die Adjianzmatrix des nächsten Nachbargraphen. Der Unterschied zwischen Ihren Variablen $x’-x=a$ ist die Gitterkonstante. Aus diesem Begriff ergibt sich daher der „kinetische“ Begriff der Feldtheorie
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das einfach so sagen kann $(x_\mu' - x_\mu)$ ist die Gitterkonstante (die ich auf 1 gesetzt habe) für die Zwecke der Integration. Ich gehe davon aus, dass ich irgendwie konvertieren kann $\int d\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') (x_\mu'-x_\mu)^2 \sim\tilde{K}''(\mathbf{0})$ , und Integrieren von Teilen Ich kann eine der verschieben $\partial_\mu$ auf die andere $\phi(\mathbf{r})$ ein bekommen $(\partial_\mu\phi)^2$ Begriff. Ich bin mir nur nicht sicher, wie ich es machen soll.
Was ich oben aufgenommen habe, ist die Art und Weise, wie mir das Problem präsentiert wurde. Ich denke, es wäre besser, den Gitterabstand explizit zu belassen und die Grenze dafür zu nehmen $a\rightarrow 0$ , da dies eine "grobkörnige" mittlere Feldtheorie sein soll
Ich komme zu spät zur Party, aber wenn die Schwankung im Feld gering ist, können Sie einfach alle höheren Ableitungen fallen lassen, was den zweiten Term zunichte macht.

Sahand Tabatabaei · Answer 1

Sie können den (skalierten) Interaktionsteil der Aktion schreiben als:

S_{ICH} \equiv \int_{R^{D}} D^{D} R ϕ (R) \int_{R^{D}} D^{D} R^{'} K (R - R^{'}) ϕ (R^{'})

$S_I \equiv \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \phi(\mathbf r')$ Nehmen wir das innere Integral

r^{'}

$\mathbf r'$ zuerst (ich nenne es

I

$\mathcal I$ um die Sache einfacher zu machen). Erweitern

ϕ (r^{'})

$\phi(\mathbf r')$ um

r

$\mathbf r$ gibt:

ICH \equiv \int_{R^{D}} D^{D} R^{'} K (R - R^{'}) ϕ (R^{'}) \approx \int_{R^{D}} D^{D} R^{'} K (R - R^{'}) (ϕ (R) + \sum_{ich = 1}^{D} (X_{ich}^{'} - X_{ich}) \partial_{ich} ϕ (R) + \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{D} \sum_{J = 1}^{D} (X_{ich}^{'} - X_{ich}) (X_{J}^{'} - X_{J}) \partial_{ich} \partial_{J} ϕ (R))

$\mathcal I \equiv\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \phi(\mathbf r') \approx \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \bigg(\phi(\mathbf r)+ \sum_{i=1}^d (x_i'-x_i)\partial_i \phi(\mathbf r) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d (x_i'-x_i)(x_j'-x_j)\partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \bigg)$ Nehmen Sie nun das Integral nach innen, um zu erhalten:

ICH \approx ϕ (R) \int_{R^{D}} D^{D} R^{'} K (R - R^{'}) + \sum_{ich = 1}^{D} \partial_{ich} ϕ (R) \int_{R^{D}} D^{D} R^{'} (X_{ich}^{'} - X_{ich}) K (R - R^{'}) + \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{D} \sum_{J = 1}^{D} \partial_{ich} \partial_{J} ϕ (R) \times \int_{R^{D}} D^{D} R^{'} (X_{ich}^{'} - X_{ich}) (X_{J}^{'} - X_{J}) K (R - R^{'}))

$\mathcal I\approx \phi(\mathbf r) \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ + \sum_{i=1}^d \partial_i \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ (x_i'-x_i) K(\mathbf r-\mathbf r') +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d \partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \times\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r'(x_i'-x_i)(x_j'-x_j)K(\mathbf r-\mathbf r') \bigg)$ Unter der Annahme, dass die Kopplung homogen ist,

K (r - r^{'}) \equiv K (r^{'} - r)

$K(\mathbf r-\mathbf r')\equiv K(\mathbf r'-\mathbf r)$ . In diesem Sinne und auch bei sich ändernden Variablen

R \equiv r^{'} - r

$\mathbf R \equiv \mathbf r'-\mathbf r$ , wir bekommen:

ICH \approx ϕ (R) \int_{R^{D}} D^{D} R K (R) + \sum_{ich = 1}^{D} \partial_{ich} ϕ (R) \int_{R^{D}} D^{D} R R_{ich} K (R) + \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{D} \sum_{J = 1}^{D} \partial_{ich} \partial_{J} ϕ (R) \times \int_{R^{D}} D^{D} R R_{ich} R_{J} K (R))

$\mathcal I \approx \phi(\mathbf r) \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ + \sum_{i=1}^d \partial_i \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i K(\mathbf R) +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d \partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \ \ \ \ \times\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_iR_jK(\mathbf R) \bigg)$ Sie können jedes der Integrale miteinander in Beziehung setzen

R

$\mathbf R$ zur Fourier-Transformation von

K (R)

$K(\mathbf R)$ definiert als

\tilde{K} (q) \equiv \int_{R^{d}} d^{d} R K (R) \exp (- i q . R)

$\tilde K(\mathbf q) \equiv \int_{\mathbb R^d} d^d \mathbf R \ K(\mathbf R)\exp(-i \mathbf{q} . \mathbf R)$ :

- Erstes Integral:

\int_{R^{D}} D^{D} R K (R) = \int_{R^{D}} D^{D} R K (R) e^{- ich Q . R} |_{Q = 0} = \tilde{K} (0)

$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} |_{\mathbf q =0} = \tilde K(\mathbf 0)$ - Zweites Integral:

\int_{R^{D}} D^{D} R R_{ich} K (R) = 0

$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i K(\mathbf R) =0$ Weil der Integrand, wie Sie erwähnt haben, seltsam ist.

- Drittes Integral:
Für dieses stellen wir zunächst fest, dass das Integral, wie Sie erwähnt haben, für alle unterschiedlichen Null ist

i, j

$i,j$ . Für

i = j

$i=j$ , beachten Sie zunächst Folgendes:

\frac{\partial^{2}}{\partial Q_{ich}^{2}} \int_{R^{D}} D^{D} R K (R) e^{- ich Q . R} = \int_{R^{D}} D^{D} R (- ich) (- ich) R_{ich} R_{ich} K (R) e^{- ich Q . R} = - \int_{R^{D}} D^{D} R R_{ich}^{2} K (R) e^{- ich Q . R}

$\frac{\partial^2}{\partial q_i^2} \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ (-i)(-i) R_i R_i K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ = - \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i^2 K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R}$ Was impliziert:

\int_{R^{D}} D^{D} R R_{ich}^{2} K (R) = - \frac{\partial^{2}}{\partial Q_{ich}^{2}} \int_{R^{D}} D^{D} R K (R) e^{- ich Q . R} |_{Q = 0} = - \frac{\partial^{2}}{\partial Q_{ich}^{2}} \tilde{K} (Q) |_{Q = 0}

$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i^2 K(\mathbf R)=-\frac{\partial^2}{\partial q_i^2} \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R}|_{\mathbf q=0}=-\frac{\partial^2}{\partial q_i^2}\tilde K(\mathbf q) |_{\mathbf q=0}$ Wenn Sie nun davon ausgehen, dass die Kopplung auch isotrop ist, dh

\exists K : K (R) \equiv K (| R |)

$\exists \mathcal K : K(\mathbf R) \equiv \mathcal K(|\mathbf R|)$ , die Fourier-Transformation von

K

$K$ wird zu einer Funktion mit einer einzigen Variablen, was bedeutet, dass das dritte Integral gerecht ist

- {\tilde{K}}^{″} (0)

$-\tilde K''(0)$ .

In Summe,

I

$\mathcal I$ Ist:

ICH \approx ϕ (R) \tilde{K} (0) - \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{D} \partial_{ich}^{2} ϕ (R) {\tilde{K}}^{″} (0)

$\mathcal I \approx \phi(\mathbf r) \tilde K(0) \ - \frac 12\sum_{i=1}^d \partial_i^2 \phi(\mathbf r) \tilde K''(0)$ Somit lautet der Interaktionsterm in der Aktion:

S_{ICH} = \int_{R^{D}} D^{D} R ϕ (R) ICH = \int_{R^{D}} D^{D} R ϕ (R) (ϕ (R) \tilde{K} (0) - \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{D} \partial_{ich}^{2} ϕ (R) {\tilde{K}}^{″} (0))

$S_I = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r) \mathcal I = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r)\bigg(\phi(\mathbf r) \tilde K(0) \ - \frac 12\sum_{i=1}^d\partial_i^2 \phi(\mathbf r) \tilde K''(0)\bigg)$

= \tilde{K} (0) \int_{R^{D}} D^{D} R ϕ^{2} (R) - \frac{{\tilde{K}}^{″} (0)}{2} \sum_{ich = 1}^{D} \int_{R^{D}} D^{D} R ϕ (R) \partial_{ich}^{2} ϕ (R)

$=\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) - \frac {\tilde K''(0)}2\sum_{i=1}^d \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r) \ \partial_i^2 \phi(\mathbf r)$ Teilweises Integrieren im zweiten Term ergibt (Randterme verschwinden, weil

ϕ (r) \to 0

$\phi(\mathbf r) \to 0$ als

| r | \to \infty

$|\mathbf r| \to \infty$ so dass die Integrale konvergieren):

S_{ICH} = \tilde{K} (0) \int_{R^{D}} D^{D} R ϕ^{2} (R) + \frac{{\tilde{K}}^{″} (0)}{2} \sum_{ich = 1}^{D} \int_{R^{D}} D^{D} R \partial_{ich} ϕ (R) \partial_{ich} ϕ (R)

$S_I =\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2\sum_{i=1}^d\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \partial_i \phi(\mathbf r) \ \partial_i \phi(\mathbf r)$

= \tilde{K} (0) \int_{R^{D}} D^{D} R ϕ^{2} (R) + \frac{{\tilde{K}}^{″} (0)}{2} \int_{R^{D}} D^{D} R \sum_{ich = 1}^{D} (\partial_{ich} ϕ (R))^{2}

$=\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2 \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \sum_{i=1}^d (\partial_i \phi(\mathbf r))^2$

= \int_{R^{D}} D^{D} R (\tilde{K} (0) ϕ^{2} (R) + \frac{{\tilde{K}}^{″} (0)}{2} (\partial ϕ (R))^{2})

$=\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \bigg( \tilde K(0) \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2 \ \big( \partial \phi(\mathbf r) \big)^2 \bigg)$ Wenn Sie dies in die vollständige Aktion einstecken, erhalten Sie schließlich:

S [ϕ] = \int_{R^{D}} D^{D} R (\frac{{\tilde{K}}^{″} (0)}{8} (\partial ϕ (R))^{2} + (\frac{\tilde{K} (0)}{4} - \frac{1}{2}) ϕ^{2} (R) + \frac{1}{12} ϕ^{4} (R))

$S[\phi] =\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \bigg( \frac {\tilde K''(0)}8 \ \big( \partial \phi(\mathbf r) \big)^2 + \left(\frac {\tilde K(0)}{4}- \frac 12\right) \phi^2(\mathbf r) + \frac 1{12} \phi^4(\mathbf r) \bigg)$ Beachten Sie, dass der Koeffizient des quadratischen Terms das Vorzeichen mit der Temperatur ändern kann (durch

\tilde{K}

$\tilde K$ ), was ein Zeichen für einen Phasenübergang ist .

Vielen Dank! Ich war in der Lage, den quadratischen Term richtig hinzubekommen, und ich habe das seitdem notiert $\tilde{K} \propto \beta^{-1}$ dass sich bei niedriger Temperatur das Vorzeichen ändert und es zu einem Phasenübergang kommt, ich konnte den ersten Term einfach nicht bekommen. Ich bin noch nicht alle Ihre Lösungen durchgegangen, aber danke.
Ich hatte versucht, etwas Ähnliches wie beim dritten Integral zu tun, aber ich habe zuerst die inverse Transformation eingefügt, danach konnte ich nicht herausfinden, wie ich die Ableitungen anwenden sollte, da ich beide hatte $K$ und der Phasenfaktor abhängig von $\mathbf{q}$ . So hatte ich mir das nicht vorgestellt. Nochmals vielen Dank, das war sehr lehrreich und hilfreich.
Ich habe mir das gerade noch einmal angesehen, ich glaube, Sie wollten damit sagen, dass der Grenzbegriff verschwindet, weil $\phi(\mathbf r)\to 0$ als $|\mathbf r| \to \infty$ .
Ja das ist richtig. Das war ein Fehler! Ich habe meine Antwort bearbeitet.

Kontinuumsfeldtheorie für das Ising-Modell

Kai

lcv

Kai

Kai

Michael Paris

Antworten (1)

Sahand Tabatabaei

Kai

Sahand Tabatabaei

Kai

Sahand Tabatabaei

Kai

Sahand Tabatabaei

Kritisches 2D-Ising-Modell

Manipulationen mit Traces: Sattelpunktintegration im Large-NNN-Modell

Lee-Yang Nullen, wie man Aktivität definiert

Korrelationslängenanisotropie im 2D-Ising-Modell

Was bedeutet die Kopplungsänderung nach einer Renormierung (im 1-dim-Ising-Modell)?

Fermionische Lösung von 2D Ising

Umrechnung zwischen stetigen und diskreten Zustandssummen

Was passiert mit der freien Energie des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wirbeln?

Mean-Field-Theorie: Variationsansatz versus Selbstkonsistenz

Erweiterung der exakten Partitionsfunktion von Onsager für das 2D-Ising-Modell