Korrelationslängenanisotropie im 2D-Ising-Modell

Question

Korrelationslängenanisotropie im 2D-Ising-Modell

Physik
ising-Modell
Gittermodell
Korrelationsfunktionen
Statistische Mechanik

Gec

Im Ising-Modell ist die Zwei-Spin-Korrelationsfunktion

C (\vec{R}) = ⟨ σ_{{\vec{R}}_{0} + \vec{R}} σ_{{\vec{R}}_{0}} ⟩ - ⟨ σ_{{\vec{R}}_{0} + \vec{R}} ⟩ ⟨ σ_{{\vec{R}}_{0}} ⟩ .

$C(\vec{r}) = \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\sigma_{\vec{r}_0}\rangle - \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\rangle \langle \sigma_{\vec{r}_0} \rangle.$ Diese Menge ist nicht abhängig von

{\vec{r}}_{0}

$\vec{r}_0$ aufgrund der Translationsinvarianz. Wenn

r = | \vec{r} |

$r = |\vec{r}|$ groß gegen den Gitterabstand ist, erwarten wir die folgende ungefähre Form

C (\vec{R}) \sim \exp (- R / ξ),

$C(\vec{r}) \sim \exp(-r/\xi),$ Wo

ξ

$\xi$ ist die Korrelationslänge.

Unterschiedliche Richtungen auf dem Gitter sind nicht äquivalent. Zum Beispiel gibt es im Ising-Modell auf dem quadratischen Gitter zwei Richtungen, sagen wir vertikal und horizontal, entlang denen benachbarte Spins interagieren. Ich sehe keinen Grund zu der Annahme, dass andere Richtungen diesen beiden entsprechen. Auch im anisotropen Ising-Modell sind vertikale und horizontale Richtung nicht äquivalent.

Dann die Korrelationslänge $\xi$ sollte von der Richtung abhängen $\vec{r}$ . Ist die analytische Form dieser Abhängigkeit zumindest für den quadratischen Verband bekannt? Das Ising-Modell ist wahrscheinlich das am besten untersuchte Modell der statistischen Physik, aber ich konnte keine entsprechenden Formeln finden. Daher wären alle Referenzen willkommen.

PS Ich weiß, dass das Ising-Modell in der Skalierungsgrenze isotrop wird. Die obige Frage gilt für Systeme, die weit genug vom kritischen Punkt entfernt sind.

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Korrelationslängenanisotropie im 2D-Ising-Modell

Jan Velenik · Answer 1

Die Korrelationslänge des 2d-Ising-Modells wurde explizit berechnet. Sie finden den Ausdruck in dem berühmten Buch von McCoy und Wu . Hier ist ein Diagramm der inversen Korrelationslänge (d. h. $1/\xi$ ) bei verschiedenen Temperaturen, entnommen aus diesem kürzlich erschienenen Übersichtsartikel :

Dies soll nur die Richtungsabhängigkeit zeigen, da der radiale Maßstab nicht für alle Bilder gleich ist. Die Temperatur nimmt von links nach rechts ab (Sie können die Isotropie sehen, die nahe der kritischen Temperatur auftritt) von nah an $\infty$ bis nahe an die kritische Temperatur. Unterhalb der kritischen Temperatur ist das Verhalten genau das gleiche, da die Selbstdualität des Modells dies für alle impliziert $T<T_c$ , $\xi(T) = \xi(T^*)/2$ wo die duale Temperatur $T^*=T^*(T)$ erfüllt $T^*>T_c$ .

Vielen Dank! Ist dieses Problem für das anisotrope Ising-Modell auf dem Dreiecksgitter gelöst?
@Gec: Stephenson hatte in den 1960er und frühen 1970er Jahren eine Reihe von Artikeln über Korrelationen des Ising-Modells auf dem Dreiecksgitter. Das vierte der Serie könnte das abdecken, was Sie wollen: Ising-Model Spin Correlations on the Triangular Lattice. IV. Anisotrope ferromagnetische und antiferromagnetische Gitter , J. Stephenson, Journal of Mathematical Physics 11, 420 (1970).
(Hinweis: Ich habe Stephensons Papiere nicht gelesen, daher könnte ich mich irren. Auf jeden Fall könnte ein Blick darauf, welche neueren Papiere diese zitieren, Sie zu dem führen, was Sie brauchen ...)
Ich habe Stephensons Papiere gesehen, aber nicht gründlich studiert. Danke noch einmal. Meine Frage entstand aus dem, was ich gefunden habe: eine Differentialgleichung für die Korrelationslänge als Funktion des Winkels im Falle der sogenannten Unordnungslösung , entdeckt von Stephenson. Jetzt bin ich neugierig auf die Möglichkeit, eine solche Gleichung im allgemeinen Fall zu schreiben.

Ryan Thorngren · Answer 2

Sie können dieses Problem in der Nähe des Fixpunkts (die beiden rechten Bilder in Yvans Antwort) untersuchen, indem Sie nach dem relevantesten Operator mit der richtigen Symmetrieladung suchen.

Zum Beispiel würden wir für ein rechteckiges Gitter nach Spin-2-Operatoren suchen, für ein dreieckiges Gitter Spin 3 und für ein quadratisches Gitter Spin 4.

Da diese höheren Spindeformationen im Ising-Modell von nachkommenden Operatoren stammen, erwartet man etwa eine Größenordnung von $(T-T_c)$ Trennung in den Anisotropien zwischen jedem Fall.

Ich weiß jedoch nicht, wie ich andere interessante Merkmale erklären soll, beispielsweise warum die Korrelationslänge bei niedrigen Temperaturen eine Spitze hat. Das ist ziemlich toll!

Sie haben nur eine Spitze in der Grenze $T\to 0$ oder $T\to\infty$ (Tatsächlich sind die Korrelationslängen bei hoher und niedriger Temperatur dank der Selbstdualität proportional). Bei positiven und endlichen Temperaturen ist die Korrelationslänge rigoros als analytisch in der Richtung (eigentlich in jeder Dimension) bekannt. Bei sehr hohen und sehr niedrigen Temperaturen können Sie das Verhalten der Korrelationslänge mithilfe von Störungstechniken (z. B. Clusterexpansion) verstehen.

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