Erweiterung der exakten Partitionsfunktion von Onsager für das 2D-Ising-Modell

Question

Erweiterung der exakten Partitionsfunktion von Onsager für das 2D-Ising-Modell

Henry

Wir haben eine Frage, bei der wir den genauen Ausdruck für die Partitionsfunktion des 2D-Ising-Modells erhalten :

\frac{1}{N} \ln Z = \ln (2 {cosch}^{2} (β J))

$\frac{1}{N}\ln Z ~=~ \ln(2 \cosh^2(\beta J))$

+ \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \frac{D Q_{1}}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{D Q_{2}}{2 π} \ln ((1 + X^{2})^{2} - 2 X (1 - X^{2}) (\cos (Q_{1}) + \cos (Q_{2})),

$+ \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dq_1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dq_2}{2\pi} \ln \left( (1+x^2)^2 - 2x(1-x^2)(\cos(q_1) + \cos(q_2)\right),$

Wo $x=\tanh(\beta J)$ . In den ersten Teilen der Frage zeigen wir, dass das Argument im Logarithmus nicht negativ ist und dass es einen kritischen Punkt gibt $q_1 = q_2 = 0$ Und $x=\sqrt{2}-1$ wobei das Argument null ist. Wir werden dann aufgefordert: „Erweitern Sie den Logarithmus über beide $q_1=q_2=0$ und diesen kritischen Wert von x und bewerten Sie das resultierende Integral, um das führende singuläre Verhalten von zu extrahieren $\ln Z$ (und damit die freie Energie) in der Nähe des Übergangs. Was ist die Natur der Singularität in der Wärmekapazität?

Jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich das erweitern soll. Eine standardmäßige multivariate Taylor-Erweiterung wird hier eindeutig nicht von Nutzen sein, da $\ln(0)$ geht zu $-\infty$ . Ich dachte vielleicht mach einfach die Erweiterung mit $q_1$ Und $q_2$ und dann das Integral auswerten, um zu beginnen, aber dann weiß ich nicht, was ich von dort wirklich tun soll. Wie geht man im Allgemeinen vor, um eine Singularität in einer Funktion zu erweitern? Jeder Hinweis in die richtige Richtung wäre sehr willkommen!

Meng Cheng

Das Argument sieht singulär aus, bedeutet nicht, dass das Integral nicht existiert. In der Tat, da Sie ein 2D-Integral in Bezug auf machen

q_{1}

$q_1$ Und

q_{2}

$q_2$ , wenn man um den Ursprung integriert

q_{1} = q_{2} = 0

$q_1=q_2=0$ Es ist besser, Polarkoordinaten zu verwenden: ungefähr

\cos q_{1} + \cos q_{2} \approx 2 - \frac{q_{1}^{2} + q_{2}^{2}}{2}

$\cos q_1+\cos q_2\approx 2-\frac{q_1^2+q_2^2}{2}$ , und es gibt einen zusätzlichen Faktor von

q

$q$ aus der Integrationsmaßnahme. Dann das Integral von

q \ln (polynomial of q)

$q\ln(\text{polynomial of q})$ ist immer gut definiert in der Nähe

q = 0

$q=0$ .

stechen wie ein Bier

Versuchen Sie, das Integral mit beliebig auszuwerten

x

$x$ , und nach in der Nähe erweitern

x = \sqrt{2} - 1

$x=\sqrt 2 -1$ .

Henry

Ok, das scheint ein guter Anfang zu sein (obwohl die Integration über einen quadratischen Bereich erfolgt, sodass die Grenzen in Polarkoordinaten schwer richtig zu machen sind. Vielleicht ist das aber nicht wichtig. Also habe ich neu geschrieben als

\int_{0}^{π} q \ln (A (x) + B (x) q^{2})

$\int_0^{\pi} q \ln(A(x) + B(x)q^2)$ was ich auswerten kann (obwohl Mathematica sagt, dass es nur gültig ist, wenn A strikt größer als Null ist und A am kritischen Punkt Null ist.

A (x) = ((x - x_{c 1}) (x - x_{c 2}))^{2}

$A(x) = ((x-x_{c1})(x-x_{c2}))^2$ Und

B = x (1 - x^{2})

$B=x(1-x^2)$ . Aber wenn ich dies differenziere, um die Wärmekapazität und den Plot zu erhalten, scheint es keine Singularität zu geben.

Josh Silbermann

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Josh Silbermann

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Antworten (1)

Erweiterung der exakten Partitionsfunktion von Onsager für das 2D-Ising-Modell

Das Argument sieht singulär aus, bedeutet nicht, dass das Integral nicht existiert. In der Tat, da Sie ein 2D-Integral in Bezug auf machen $q_1$ Und $q_2$ , wenn man um den Ursprung integriert $q_1=q_2=0$ Es ist besser, Polarkoordinaten zu verwenden: ungefähr $\cos q_1+\cos q_2\approx 2-\frac{q_1^2+q_2^2}{2}$ , und es gibt einen zusätzlichen Faktor von $q$ aus der Integrationsmaßnahme. Dann das Integral von $q\ln(\text{polynomial of q})$ ist immer gut definiert in der Nähe $q=0$ .
Versuchen Sie, das Integral mit beliebig auszuwerten $x$ , und nach in der Nähe erweitern $x=\sqrt 2 -1$ .
Ok, das scheint ein guter Anfang zu sein (obwohl die Integration über einen quadratischen Bereich erfolgt, sodass die Grenzen in Polarkoordinaten schwer richtig zu machen sind. Vielleicht ist das aber nicht wichtig. Also habe ich neu geschrieben als $\int_0^{\pi} q \ln(A(x) + B(x)q^2)$ was ich auswerten kann (obwohl Mathematica sagt, dass es nur gültig ist, wenn A strikt größer als Null ist und A am kritischen Punkt Null ist. $A(x) = ((x-x_{c1})(x-x_{c2}))^2$ Und $B=x(1-x^2)$ . Aber wenn ich dies differenziere, um die Wärmekapazität und den Plot zu erhalten, scheint es keine Singularität zu geben.
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Josh Silbermann · Answer 1

Wenn wir das Argument von erweitern $\ln$ In $q_1, q_2$ um $\left(q_1,q_2\right)=\left(0,0\right)$ und einstellen $q_1,q_2$ auf Null, finden wir

(1 + X^{2})^{2} - 2 X (1 - X^{2}) 2 = (1 + X^{2})^{2} - 4 X (1 - X^{2}) = (X^{2} + 2 X - 1)^{2}

$(1+x^2)^2-2x(1-x^2)2=(1+x^2)^2-4x(1-x^2)=(x^2+2x-1)^2$ was offensichtlich an der Wurzel von minimiert wird

x^{2} + 2 x - 1

$x^2+2x-1$ , geben

x_{c} = \sqrt{2} - 1

$x_c = \sqrt{2}-1$ .

Denn das Modell ist im aufgenommen $N\rightarrow\infty$ Grenze, das Integral für $F/N$ wird von der Nachbarschaft dominiert $x_c$ .

Lassen Sie uns nun das Argument in Bezug auf erweitern $x$ um $x_c$ , dh, $x\rightarrow x_c + \epsilon$ . Die Erweiterung gibt nach

8 ϵ^{2} + 4 \sqrt{2} ϵ^{3} + ϵ^{4}

$8\epsilon^2+4\sqrt{2}\epsilon^3 + \epsilon^4$ die wir bei Bestellung abschneiden

ϵ^{2}

$\epsilon^2$ seit

ϵ

$\epsilon$ wird als klein angenommen.

Sobald wir also die Terme von Nicht-Null zurücksetzen $q_1,q_2$ , wird das Argument

8 ϵ^{2} - k (Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2})

$8\epsilon^2 - k\left(q_1^2+q_2^2\right)$ Wo

k

$k$ ist eine Konstante, die sich aus der Erweiterung von ergibt

2 x (1 - x^{2})

$2x(1-x^2)$ (der Multiplikator auf den Kosinustermen). Von hier aus werde ich die Dinge neu skalieren, damit es keine sinnlosen Konstanten vor unseren Argumenten gibt.

Jetzt hab

F / N \sim \int D Q_{1} D Q_{2} \ln (ϵ^{2} - Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2})

$F/N \sim \int dq_1dq_2 \ln\left(\epsilon^2 - q_1^2+q_2^2\right)$

Wechseln Sie zu Polarkoordinaten, damit $q_1^2+q_2^2 \rightarrow r^2$ Und $dq_1dq_2\rightarrow rdrd\theta$ Erträge

\int \ln (ϵ^{2} - R^{2}) R D R D θ = 2 π \int \ln (ϵ^{2} - R^{2}) R D R

$\int \ln\left(\epsilon^2 - r^2\right)rdrd\theta = 2\pi\int \ln\left(\epsilon^2 - r^2\right)rdr$

Dieses Integral ist etwas weniger abschreckend als das Original (Sie können es definitiv in Mathematica auswerten!) und gibt

F / N = ϵ^{2} \ln ϵ - \ln (1 - ϵ^{2}) + \ln (ϵ^{2} - 1)

$F/N = \epsilon^2\ln\epsilon - \ln\left(1-\epsilon^2\right)+\ln\left(\epsilon^2-1\right)$

Beim Bilden der zweiten Ableitung ( $C\sim N^{-1}\frac{\partial^2F}{\partial\epsilon^2}$ ) stellen wir fest, dass der Singularbegriff herrührt $\epsilon^2\ln \epsilon$ die nach Differenzierung ergibt

ϵ^{2} \ln ϵ \overset{\partial / \partial ϵ}{\to} ϵ \ln ϵ + ϵ \overset{\partial / \partial ϵ}{\to} \ln ϵ + Konstanten \approx \ln ϵ = \ln (X - X_{C})

$\epsilon^2 \ln \epsilon \stackrel{\partial/\partial\epsilon}{\rightarrow} \epsilon\ln\epsilon + \epsilon \stackrel{\partial/\partial\epsilon}{\rightarrow} \ln\epsilon + \textrm{constants} \approx \ln \epsilon = \ln \left(x-x_c\right)$

was zeigt, dass die spezifische Wärme nahe logarithmisch divergiert $x_c$

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