Quanten-Stat-Mech-Beweis einer Ungleichung für die Partitionsfunktion

Ich habe das folgende Problem, das ich für den Unterricht nicht lösen konnte, aber ich hatte ein paar erste Schritte, mit denen ich begonnen habe, die ich nicht beenden kann. Ich weiß, dass ich das nicht bekommen kann, da es bereits abgegeben wurde, aber ich würde gerne sehen, ob dies überhaupt eine praktikable Option war, um diesen Beweis überhaupt zu führen.

``Gegeben eine orthogonale Menge von Zuständen, { ϕ N } , und ein Hamiltonian, H ^ , zeigen, dass die Partitionsfunktion, Q β , erfüllt folgendes

Q β ≥ ∑ N exp ⁡ { − β ⟨ ϕ N | H ^ | ϕ N ⟩ }
mit Gleichheit halten, wenn die ϕ N Zustände sind Eigenzustände des Hamiltonoperators.''

Ich begann damit, die Identität in das Exponential (als Eigenzustände des Hamilton-Operators) einzugeben.

∑ N exp ⁡ { − β ∑ k ⟨ ϕ N | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | H ^ | ϕ N ⟩ } = ∑ N exp ⁡ { − β ∑ k E k | C N k | 2 }
Dann bleibt es mir übrig, das zu zeigen
∑ N exp ⁡ { − β ∑ k E k | C N k | 2 } ≤ ∑ k exp ⁡ { − β E k }
wobei die Gleichheit auf die gleiche Weise wieder auftaucht, mit einem Kronecker-Delta δ N k Zerlegen der Summe in die Exponentialfunktion.

Mir ist klar, dass ich es nicht sehr weit geschafft habe, also ist dies vielleicht nicht der beste Weg, dies zu zeigen, aber es scheint offensichtlich wahr zu sein, wenn ich es nur anschaue, aber ich kann es nicht wirklich zeigen. Hat jemand einen Tipp, wie man damit weitermachen kann?

Antworten (1)

Hier ist ein skizzierter Beweis der Ungleichung. Das Problem ist, das zu zeigen

∑ N ⟨ ϕ N | e − β H ^ | ϕ N ⟩   ≥ ?   ∑ N e − β ⟨ ϕ N | H ^ | ϕ N ⟩ , ( 1 )

wo der Hamiltonian H ^ ein selbstadjungierter Operator ist, und | ϕ N ⟩ bezeichnen orthonormale Basisvektoren im Hilbert-Zustandsraum. Die linke. von Gl. (1) ist die Partitionsfunktion T R ( e − β H ^ ) . Durch Skalierung H ^ , davon können wir ausgehen β = − 1 . Die Ungleichung (1) würde folgen, wenn wir die Ungleichung für jeden Summanden zeigen können

⟨ ϕ N | e H ^ | ϕ N ⟩   ≥ ?   e ⟨ ϕ N | H ^ | ϕ N ⟩ , ( 2 )

oder äquivalent in einer vereinfachten Notation für fest N ,

⟨ e H ^ ⟩   ≥ ?   e ⟨ H ^ ⟩ . ( 3 )

Aber Gl. (3) ist nur Jensens Ungleichung für eine konvexe Funktion (wobei die Exponentialfunktion die Rolle der konvexen Funktion spielt).

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