Kanonische Partition eines Bosongases [Duplikat]

Ich habe ein 1D-Gas aus N Teilchen, die in einem harmonischen Potentialtopf platziert sind, also lautet der Hamilton-Operator:

H = ∑ J = 1 N ( P J 2 2 M + 1 2 M ω 2 X J 2 )

Der erste Teil der Übung forderte mich auf, die kanonische Partition bei der Temperatur zu finden T wenn die Teilchen unterscheidbar sind, um die Partition zu finden, wenn die Teilchen nicht unterscheidbar sind, aber die Maxwell-Boltzmann-Näherung gilt. In beiden Fällen war dies einfach. Aber jetzt fordert mich die Übung auf, die Partition zu finden, wenn die Teilchen identische Bosonen sind, und dann zu zeigen, dass dies gleich der Maxwell-Boltzmann-Näherung für große Temperaturen ist.

Ich weiß nicht genau, wie ich die Summierung einrichten soll, um die Zustände richtig zu zählen, wenn Sie sie als Bosonen behandeln. Ich weiß, dass wir die Zustände haben ϵ J = ℏ ω ( J + 1 2 ) und dass jeder dieser Staaten von besetzt sein wird N J Bosonen und da es 1D ist, muss ich mir keine Sorgen über Entartung machen ... aber ich bin mir nicht sicher, wie ich weitermachen soll.

Soweit ich weiß, ist es schöner, mit Fermionen und Bosonen im Grand Canonical Ensemble zu arbeiten, aber wir haben das noch nicht im Unterricht gesehen.

Danke!

Antworten (2)

Bosonisch 1 D N harmonische Oszillatoren erlauben „ausnahmsweise“ eine geschlossene Form der kanonischen Zustandssumme:

Z N = ∏ N = 1 N Q 1 / 2 1 − Q N Wo Q = e − β ℏ ω

Dieser Ausdruck ähnelt einer Art großkanonischer Zustandssumme für ein System von bosonischen „Phononen“ mit einer endlichen Anzahl möglicher Energiespektren mit verschwindendem chemischem Potential.

Man kann diesen Ausdruck ableiten, indem man feststellt,

Fläche eines Young-Tableux = Summe der Spaltenlänge = Summe der Zeilenlänge

Beginnen wir mit dem Zählen der Möglichkeiten, wie die Zustände gezählt werden können. Für ein klassisches Gas aus nicht unterscheidbaren Teilchen ist das Energiespektrum kontinuierlich und es kann zu einer Entartung kommen. Ich gehe davon aus, dass Sie wissen, wie Sie dies aus MB-Statistiken ableiten und wie Sie die Auswirkungen von Überzählen aufgrund von Ununterscheidbarkeit einbeziehen.

Sie müssen unbedingt die nicht normierten Wahrscheinlichkeiten all der verschiedenen Arten summieren, auf die die Bosonen die ganzzahligen Energieniveaus des SHO besetzen können. es ist einfacher in der großkanonischen Gesamtheit abzuleiten, weil die Einschränkung einer festen Teilchenzahl die Summe schwieriger macht.

Die kanonische Zustandssumme kann in der Energiebasis geschrieben werden als

Z C A N = T R ( e − β H ) = ∑ { N ( J ) } e X P ( − β ∑ J ℏ ω ( J + 1 2 ) N ( J ) )

unterliegt der Einschränkung,

∑ J N ( J ) = N .

In der Praxis ist diese Summe schwierig, weshalb Leute normalerweise die Grand-Partition-Funktion verwenden, um Partitionsfunktionen zu konstruieren. Wir können diese Einschränkung lockern, indem wir ein chemisches Potential einführen. Dann,

Z G C = ∏ J [ 1 − e X P ( β μ − β ℏ ω ( J + 1 2 ) ) ] − 1

Haben Sie schon einmal gesehen, wie die Zwangssumme irgendwo ausgeführt wurde? Ist es überhaupt möglich, die Zwangssumme auszuführen? Das ist etwas, worüber ich mich immer gewundert und unter den Teppich gekehrt habe.
Ich habe nur eine Störungsreihe der kanonischen Zustandssumme für ein Quantenidealgas gesehen.
Aber ... aber ... wir haben das Grand Canonical Ensemble noch nicht im Unterricht gesehen, also denke ich nicht, dass wir es verwenden sollten.
Kanonische Partition eines Bosongases [Duplikat]
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