Bose-Kondensat in 4d

Ja.

Das Entscheidende dabei ist, dass für nicht-wechselwirkende Bosonen die mittlere Besetzung jedes (Einzelteilchen-)Zustands gilt$j$wird gegeben von:

$$f(E_j) = \frac{1}{e^{(E_j - \mu)/kT}-1} .$$

Jetzt sehen Sie, dass der Grundzustand$E_0$, die Belegung ist unendlich. Dies liegt daran, dass für die$E_0$Geben Sie das chemische Potential an$\mu$muss ebenfalls null sein, um dies zu gewährleisten$f$noch positiv sein. Physikalisch ist das chemische Potential definiert als$\partial U/\partial N$, dh die hinzugefügte Energie, wenn Sie dem System ein Teilchen hinzufügen. Aber wenn Sie es hinzufügen$E=0$Zustand, dann ist die zusätzliche Energie 0 ...

Die Bose-Einstein-Kondensation beginnt, wenn Sie die angeregten Zustände sättigen und beginnen, den Grundzustand, der eine unendliche Besetzung hat, makroskopisch zu besetzen.

Unter$T_c$,$f(E_0)$beginnt zu explodieren, so dass es keinen Sinn mehr macht, die obige Verteilung zu verwenden, da die Atome beginnen, sich im Grundzustand anzusammeln.
So$T_c$wird extrahiert, wenn Ihre Summe$N$ist gleich der Anzahl der Atome in den angeregten Zuständen,$N_{ex} = \int_0 ^{\infty}dE \, g(E) \, f(E)$Wo$g(E)$ist die Zustandsdichte , dh die Anzahl der Zustände in einem gegebenen Intervall$[E, E+dE]$. Die Summe hätte über den Staaten liegen sollen , aber ich habe sie auf die Energie umgestellt $E$nur durch die Einführung dieses Begriffs der Zustandsdichte.

Die Staatendichte$g(E)$skaliert mit der Anzahl der Dimensionen$d$. Kostenlos$d$dimensionales System geht es als$g(E) \propto E^{d/2 -1}$, während für$d$dimensionales harmonisches Potential, als das es skaliert$g(E) \propto E^{d-1}$.

Allgemein kann man schreiben:

$$g(E) \propto E^{\alpha -1},$$

mit$\alpha$wobei die Anzahl der Freiheitsgrade im System geteilt durch 2 ist. Für freie Teilchen in$d$Maße,$\alpha = d/2$, und für a$d$dimensionales harmonisches Potential sind die Freiheitsgrade$2d$($d$Übersetzungen u$d$Schwingungen) also$\alpha = d$. Alle stimmen dem oben Gesagten zu.

Das obige Integral kann umgeschrieben werden als:

$$N_{ex} = \int_0 ^{\infty}dE \, g(E) \, f(E) \propto (k T_c)^{\alpha} \int_0 ^{\infty} dx\frac{x^{\alpha-1}}{e^x - 1}$$

wo ich definiert habe$x$als$E/k T_c$.

Das Integral

$$\int_0 ^{\infty} dx \frac{x^{\alpha-1}}{e^x - 1} = \Gamma(\alpha) \zeta(\alpha), \qquad \alpha > 1$$

mit$\Gamma$die Gammafunktion ist,$\zeta$die Riemann-Zeta-Funktion ist.

Was gibt dir:

$$k T_c \propto \frac{1}{[\Gamma(\alpha) \zeta(\alpha)]^{1/\alpha}}.$$

Um einen BEC-Übergang zu haben, möchten Sie$T_c \neq 0$, also eine nichttriviale Lösung.

Im freien Raum,$d=2,3,4$haben$\alpha = 1, 3/2, 2$:

$$\begin{array}{ccc} \alpha & \Gamma(\alpha) & \zeta(\alpha) \\ \hline 1/2 & \text{integral does not converge} \\ 1 & 1 & \infty \\ 3/2 & \sqrt{\pi}/2 & 2.612 \\ 2 & 1 & \pi^2/6 \\ \dots & \dots & \dots \end{array}$$

Also in einem freien System mit$d = 1,2$die einzige Lösung ist$T_c = 0$, aber für$d>2$,$T_c$ist endlich.

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Alle Details und numerischen Faktoren sind in Büchern wie Pethick & Smith und Pitaevskii & Stringari zu finden.