Partitionsfunktion für harmonische Quantenoszillatoren

Hallo Leute, ich versuche gerade, eine Probeprüfung für eine Prüfung in ein paar Tagen zu lösen, und bin etwas verwirrt von den Lösungen, die sie uns für diese Übung gegeben haben:

Übung:

Ein Festkörper besteht aus N-Atomen, die jeweils an Punkten in einem Gitter lokalisiert sind. Exkursionen über die Gleichgewichtsposition jedes Atoms führen dazu, dass sich jedes Atom wie ein 1-dimensionaler harmonischer Oszillator verhält. Schreiben Sie die Zustandssumme für einen einzelnen atomaren harmonischen Oszillator und für die Sammlung auf, unter der Annahme, dass sie bei der Temperatur T im thermischen Gleichgewicht miteinander angekommen sind.

Z S P = ∑ N = 1 ∞ e ( − E N β ) Wo β Ist 1 / ( k B T ) und die Energieniveaus der harmonischen Quantenoszillatoren sind E N = ℏ ω ( N + 1 / 2 ) . Ich habe nun versucht, mit geometrischen Reihen die Summe auszuwerten:

Z S P = e ( − β ℏ ω / 2 ) ∑ N = 1 ∞ e ( − β ℏ ω ) N = e ( − β ℏ ω / 2 ) 1 ( 1 − e ( − β ℏ ω ) ) Mit der Substitution θ = ℏ ω β es sagt die Lösung für Z S P sollte sein e ( − θ / 2 ) 1 e θ − 1 ) das ist nicht ganz der Ausdruck, den ich bekam.

Kann mir jemand sagen, wo ich falsch gelaufen bin, oder ist die Lösung einfach falsch?

Antworten (3)

  1. Die Quantenzahl N des harmonischen Oszillators läuft ab 0 Zu ∞ . (Ihre Summe beginnt bei 1.)
  2. ∑ N = 0 ∞ e − θ ( N + 1 / 2 ) = e − θ / 2 1 − e − θ = e θ / 2 e θ − 1 = 1 e θ / 2 − e − θ / 2 . Ich vermute, es ist nur ein Fehler in Ihrer Übung. (TAs machen auch Fehler.)
  3. Die FAQ sagt keine Hausaufgabenfragen. Hoffen wir, dass sie uns nicht teeren und federn. ;-)
Ups ja die Rechnung die ich gemacht habe war nur richtig für den Start mit n=0, ich war mir eine Sekunde lang nicht sicher ob der Grundzustand n=1 oder n=0 ist... Jetzt weiß ich es wieder :)
Die FAQ und darüber hinaus diese Metafrage erlauben Hausaufgabenfragen, sofern sie eine Arbeit des Fragestellers zeigen und deutlich machen, worum es konzeptionell geht.

Bei der Auswertung der geometrischen Reihe muss man bedenken, dass die Summe bei n = 1 beginnt. Die Formel für die geometrische Reihe ist leicht zu merken, siehe da sie kommt durch einfaches Herausziehen eines Faktors von X und Isolieren der Summe (2 Sek. Ableitung):

Σ N = 0 ∞ X N = 1 + X + X 2 + . . . = 1 + X ( 1 + X + X 2 + . . . ) = 1 + X Σ N = 0 ∞ X N ⇔ ( 1 − X ) Σ N = 0 ∞ X N = 1 ⇔ Σ N = 0 ∞ X N = 1 ( 1 − X )

Sie müssen einen einzigen Faktor herausziehen e − β ℏ ω Um diese Formel zu verwenden,

Z S P = e − β ℏ ω / 2 Σ N = 1 ∞ ( e − β ℏ ω ) N = e − β ℏ ω / 2 e − β ℏ ω Σ N = 0 ∞ ( e − β ℏ ω ) N = e − β ℏ ω / 2 e − β ℏ ω 1 1 − e − β ℏ ω = e − β ℏ ω / 2 e β ℏ ω − 1 .

mit Ihrem θ = ℏ ω β Sie bekommen, was die Lösung sagt,

Z S P = e − θ / 2 e θ − 1 .

Ich habe es nur vermasselt, die Summe geht von 0 bis ∞ , also keine Notwendigkeit, einen Faktor herauszugreifen. Danke trotzdem!
@Morten, aber die Summe sollte bei n = 0 beginnen, nicht bei n = 1.
@ Chris. Ich dachte eigentlich, es sei Absicht (aus irgendeinem obskuren Grund), da es mit der bereitgestellten Lösung übereinstimmte. Aber du hast natürlich Recht :)!

Deine Lösung sieht für mich richtig aus. Beachten Sie, dass es umgeschrieben werden kann als Z S P = e θ / 2 e θ − 1 , was darauf hindeutet, dass die Prüfungslösung einfach einen Vorzeichenfehler im Argument des Exponentials des Zählers hat.

Einverstanden. Die Berechnung, die user17574 durchgeführt hat, war korrekt.
Okay das hatte ich mir gedacht! Vielen Dank :)
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