Was ist die geschlossene Form der Summe in Bezug auf die DOS einer einfachen harmonischen Bewegung?

Es gibt eine formale Manipulation, die Ihre Frage mit bekannten Formeln beantworten kann. Also, lass mich schreiben

$$\epsilon_n=(2n+1)\epsilon_0$$ Sein $\epsilon_0=\hbar\omega/2$Und $$\delta(\epsilon-\epsilon_n)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{2\pi}e^{-i(\epsilon-\epsilon_n)t}.$$ Dann, $$D(\epsilon)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{2\pi}e^{-i\epsilon t} \sum_{n=0}^\infty e^{i(2n+1)\epsilon_0 t}$$ wobei ich die Summe formal durch das Integral ersetzt habe (nur einer meiner noch zu rechtfertigenden mathematischen Schritte). Die Summe konvergiert normalerweise nicht. Wenn wir zB das Spektrum bei abschneiden $n=k$man bekommt $$\sum_{n=0}^k e^{i(2n+1)\epsilon_0 t}= \frac{e^{i(3+2k)\epsilon_0 t}-e^{i\epsilon_0 t}}{e^{i2\epsilon_0 t}-1}$$ das für das exponentielle Werden $1$ergibt, dass die Summe genauso ins Unendliche geht $k$. Aber Physiker haben viele Ressourcen, um mit diesen Situationen fertig zu werden. Wir können auf eine der Techniken aus dem Buch von Hardy zurückgreifen und einen konvergierenden Faktor in die Reihe als einführen $$\sum_{n=0}^\infty e^{i(2n+1)\epsilon_0 t-\delta n} = \frac{e^{\delta+i\epsilon_0 t}}{-e^{2i\epsilon_0 t}+e^{\delta}}$$ und die Grenze $\delta\rightarrow 0$liefert das gewünschte Ergebnis. So endlich $$D(\epsilon)=-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{4\pi i}e^{-i\epsilon t}\frac{1}{\sin\epsilon_0 t}$$ das ist das Endergebnis, vorausgesetzt, wir fügen eine Regel hinzu, um alle Pole zu umgehen, die aufgrund der Sinusfunktion am Nenner entstehen (siehe unten). Beachten Sie das einfach für $\epsilon_0 t\ll 1$hat man $\sin\epsilon_0 t\approx \epsilon_0 t$. Jetzt müssen Sie eine Regel hinzufügen, um die Stange zu umgehen $t=0$und dies geschieht standardmäßig durch Hinzufügen von a $i\epsilon$am Nenner ergibt $$D(\epsilon)=-\frac{1}{\hbar\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{2\pi i}e^{-i\epsilon t}\frac{1}{t+i\epsilon}.$$ Das ist genau die Definition von $\theta$Funktion und so $$D(\epsilon)\approx \frac{1}{\hbar\omega}\theta(\epsilon).$$