Integration der Zustandssumme über viele Impulsvariablen

Es ist ein 3N-dimensionales Integral, aber es reduziert sich auf die N-te Potenz eines 3-dimensionalen Integrals (und letztendlich auf die 3N-te Potenz eines 1-dimensionalen Integrals), sodass Sie wahrscheinlich eine schlampige Quelle haben.

$$Z = \int (\prod_i d^3p_i) e^{-\beta \sum_i {p_i^2\over 2m}} = \prod_i (\int e^{-\beta {p^2\over 2m}} d^3p) = I^N$$

Wo

$$I = \int e^{-\beta {p^2\over 2m}} d^3 p$$

Das Integral I ist wirklich das Produkt von drei unabhängigen Gaußschen in$p_x$,$p_y$,$p_z$, so lautet die Antwort

$$I = ({\sqrt{m}\over \sqrt{2\pi \beta}})^3$$

Welches ist der Würfel des Integrals von jedem Gaußschen separat. So dass

$$Z= {m^{3N\over 2} \over (2\pi \beta)^{3N\over 2}}$$

und das Log ergibt die freie Energie des idealen Gases:

$$\beta F = {3N\over 2}\log(T)$$

und Sie können die spezifische Wärme des idealen Gases aus dieser Formel ablesen ---${3N\over 2}$. Das funktioniert für alle quadratischen Variablen in H, und das ist der Gleichverteilungssatz.