Antikommutatorbeziehung im Bogoliubov-de Gennes Hamiltonian

Ich habe das Problem Äquivalenz von Bogoliubov-de Gennes Hamiltonian für Nanodraht fast gelöst . In den nächsten Schritten habe ich die Notation von arXiv:0707.1692 verwendet :

Ψ † = ( ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) , ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) )

Und

Ψ = ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( ψ ↓ † , − ψ ↑ † ) ) T .

Ich versuche zu zeigen, dass der Hamilton-Operator für einen Nanodraht mit Näherungs-induzierter Supraleitung ist

H ^ = ∫ D X   [ ∑ σ ϵ { ↑ , ↓ } ψ σ † ( ξ P + a P σ j + B σ z ) ψ σ + Δ ( ψ ↓ † ψ ↑ † + ψ ↑ ψ ↓ ) ] ,

kann geschrieben werden als

H ^ = 1 2 ∫ D X   Ψ † H Ψ

mit H = ξ P 1 ⊗ τ z + a P σ j ⊗ τ z + B σ z ⊗ 1 + Δ 1 ⊗ τ X (Hier τ ich sind die Pauli-Matrix für den Teilchen-Loch-Raum und ⊗ bedeutet das Kronecker-Produkt).

Hier berechne ich als Beispiel den ersten und dritten Term von Ψ † H Ψ .

τ z Ψ = ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , − ( ψ ↓ † , − ψ ↑ † ) ) T = ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) ) T

⇒ ( ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) , ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) ) ξ P ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) ) T = ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) ξ P ( ψ ↑ , ψ ↓ ) T + ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) ξ P ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) T = ψ ↑ † ξ P ψ ↑ + ψ ↓ † ξ P ψ ↓ − ψ ↓ ξ P ψ ↓ † − ψ ↑ ξ P ψ ↑ †

Jetzt verwende ich die Antikommutatorbeziehung { ψ σ , ψ σ ' † } = δ σ , σ ' ⇔ ψ σ ψ σ † = 1 − ψ σ † ψ σ

⇔ 2 ψ ↑ † ξ P ψ ↑ + 2 ψ ↓ † ξ P ψ ↓ − 2 ξ P

Allerdings der Begriff − 2 ξ P hier sind falsch.

Für den dritten Begriff erhalte ich

ψ ↑ † B σ z ψ ↑ + ψ ↓ † B σ z ψ ↓ + ψ ↓ B σ z ψ ↓ † + ψ ↑ B σ z ψ ↑ † = ψ ↑ † B σ z ψ ↑ + ψ ↓ † B σ z ψ ↓ − ψ ↓ † B σ z ψ ↓ − ψ ↑ † B σ z ψ ↑ + 2 B σ z = 2 B σ z

Sieht jemand meinen Fehler?

Antworten (2)

Ich definiere H ∼ ψ a † ξ a β ψ β , wo ich die Summe/Integrale und all diese langweiligen Mitarbeiter vergesse. definiere ich auch ξ a β ≡ ξ ⋅ σ = ξ 0 + ξ X σ X + ξ j σ j + ξ z σ z den generischsten Einkörper-Hamiltonoperator in kompakter Form geschrieben zu haben. Der Ein-Körper-Hamiltonian liest sich dann in Matrixschreibweise

H ∼ ( ψ ↑ † ψ ↓ † ) ( ξ 0 + ξ z ξ X − ich ξ j ξ X + ich ξ j ξ 0 − ξ z ) ( ψ ↑ ψ ↓ )
wie leicht zu überprüfen.

Man möchte nun den Teilchen-Loch-Doppelraum (Nambu-Raum) hinzufügen. Das nutzt man (die Antikommutierungsrelation)

ψ a † ξ a β ψ β = − ξ a β ψ β ψ a † + δ a β ξ a β = − ψ β ( ξ a β ) T ψ a † + δ a β ξ a β
und man bekommt die unvermeidliche Spur über die Ein-Körper-Energie. Dies normalisiert Ihre Energie jedoch auf eine übliche Weise, und normalerweise lässt man diesen zusätzlichen Begriff fallen. Wir bekommen also
H ∼ 1 2 ( ψ ↑ † ψ ↓ † ψ ↑ ψ ↓ ) ( ξ ⋅ σ − ich σ j Δ ich σ j Δ − ( ξ ⋅ σ ) T ) ( ψ ↑ ψ ↓ ψ ↑ † ψ ↓ † ) − 1 2 Tr { ξ ⋅ σ }
in gemischter Notation (Blockmatrix in der Mitte, Vollvektoren am Rand). Beachten Sie hier das einzig Wichtige ( ξ ⋅ σ ) T = ( ξ ⋅ σ ) ∗ und nur die σ j Komponente ändert das Vorzeichen (sehen Sie sich Ihre a P σ j τ z Begriff im BdG Hamiltonian)

Ihre Ordnungskonvention wird durch eine offensichtliche Änderung der Basis von meiner gefunden. Dann wählst du eine Darstellung für das Tensorprodukt und du bist fertig. Einmal mehr kommt man um den letzten Trace-Begriff nicht herum, aber die meisten Leute vergessen, ihn zu diskutieren. Es spielt fast keine Rolle, außer wenn Sie einige Effekte im Zusammenhang mit dem Phasenübergang der Supraleitung beschreiben möchten (um beispielsweise die freie Energie richtig zu schreiben, brauchen Sie sie).

Noch etwas: Der Hamiltonian, den Sie gegeben haben, ist im Moment ein bisschen berühmt dafür, dass er Majorana-Fermionen beherbergt. Diagonalisiert man den Spin-Teil, erhält man a P -Welleneffektive Supraleitung bei niedriger Energie.

Sollte es nicht sein ξ β a T (mit Beta, Alpha getauscht) in der Zeile, in der Sie die Antikommutierungsbeziehung verwenden?

Das ist die perfekte Antwort. Ich möchte den Hamiltonoperator als Tensorprodukt umschreiben (hier Kroneckerprodukt)

H ∼ ( ξ ⋅ σ − ich σ j Δ ich σ j Δ − ( ξ ⋅ σ ) T ) = ξ 0 1 ⊗ τ z + ξ z σ z ⊗ τ z + ξ j 1 ⊗ σ j + Δ σ j ⊗ τ j .

Mein Problem ist jetzt der Term der Spin-Bahn-Kopplung ξ j 1 ⊗ σ j dass hier anders ist als in der Literatur. Ist das körperlich in Ordnung? Ich wusste, dass das angelegte Magnetfeld im Zeeman-Feld-Term senkrecht zum Spin-Bahn-Feld sein muss, was in diesem Fall erfüllt ist.

Sorry für diese späte Antwort. Sie sollten um Genauigkeit als Kommentar bitten, nicht als Antwort ... was ... na ja, als Antwort ist :-) Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre letzte Aussage verstehe. Normalerweise müssen Sie nur die Symmetrie beibehalten, unabhängig von ihrer Darstellung. Also, solange Sie einen gewissen Zeeman-Effekt haben z -Achse (was auch immer es bedeutet, hier bedeutet es, dass Sie einen Begriff haben H σ z ) und eine Spin-Bahn-Kopplung entlang einer senkrechten Achse (hier so etwas wie v P σ X , j , mit v eine Geschwindigkeit, um die Dimension der Energie beizubehalten) geht es dir gut. Spaß haben.
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