Ginzburg-Kriterium und Supraleitung

Das Ginzburg-Kriterium sagt uns quantitativ, wann die Mean-Field-Theorie gültig ist. Wenn$\phi$der Ordnungsparameter des Systems ist, dann erfordert die mittlere Feldtheorie, dass die Schwankungen des Ordnungsparameters viel kleiner sind als der tatsächliche Wert des Ordnungsparameters nahe dem kritischen Punkt:

$$\langle\left(\delta\phi\right)^{2}\rangle << \langle\phi^{2}\rangle\text{.}$$

Zum Beispiel bei einem Ising-Modell. Der Ordnungsparameter ist durch die Magnetisierung gegeben und wir können die Schwankungen erweitern

$$m = m_{0} + \delta m$$

Wo$m_{0}$ist der Auftragsparameter und$\delta m$beschreibt die Schwankungen. Dann kann gezeigt werden, dass das Ginzburg-Kriterium darauf abgebildet wird

$$\langle\delta m\left(x\right)\delta m\left(x^{\prime}\right)\rangle << m_{0}^{2}$$

Wo$\langle\delta m\left(x\right)\delta m\left(x^{\prime}\right)\rangle$ist die Korrelationsfunktion der Schwankungen.

Ich bin interessant, wie funktioniert das für die BCS-Theorie? Hier lautet das BCS-Aktionsfunktional

$$S_{\text{BCS}} = \sum_{Q}\Delta_{Q}^{\dagger}\left(\frac{g}{\beta V}\right)^{-1}\Delta_{Q} - \text{tr}\ln\left(\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)\right)$$

mit$\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{k,q} = \begin{pmatrix} \left(-i\omega + \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} & \Delta_{k-q} \\ \Delta_{q-k}^{\dagger} & \left(-i\omega - \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} \end{pmatrix}$. Dann mit der Schwankungsausdehnung

$$\Delta_{Q} = \sqrt{\beta V}\Delta\delta_{Q,0} + \Phi_{Q}$$

Wo$\Delta$ist der Mean-Field-Ordnungsparameter und$\Phi_{Q}$ist das Schwankungsfeld. Dann, weil$\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{k,q}$ist linear ein$\Delta_{Q}$wir können schreiben$\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{k,q} = \left(G_{\text{MF}}^{-1}\right)_{k,q} + \left(\sum_{\text{Fluc}}\right)_{k,q}$.

Nach ein wenig Algebra lässt sich zeigen, dass die Zustandssumme faktorisiert ist

$$\mathcal{Z}_{\text{BCS}} = \mathcal{Z}_{\text{MF}}\mathcal{Z}_{\text{Fluc}}$$

mit$\mathcal{Z}_{\text{MF}}$ist die Partitionsfunktion für den Ordnungsparameter des mittleren Felds und$\mathcal{Z}_{\text{Fluc}}$für die Schwankungen. Die Partitionsfunktion für die Schwankungen hat die folgende Form

$$\mathcal{Z}_{\text{Fluc}} = \int D\left[\Phi^{\dagger},\Phi\right]e^{-S_{\text{Fluc}}}$$

mit dem Aktionsfunktional der Schwankungen

$$S_{\text{Fluc}} = \frac{1}{2}\sum_{Q}\left(\Phi_{Q}^{\dagger},\Phi_{-Q}\right)\begin{pmatrix} \Gamma_{11} & \Gamma_{12} \\ \Gamma_{21} & \Gamma_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Phi_{Q}\\ \Phi_{-Q}^{\dagger} \end{pmatrix}$$

Hier haben wir eine Korrelationsmatrix$\Gamma = \begin{pmatrix} \Gamma_{11} & \Gamma_{12} \\ \Gamma_{21} & \Gamma_{22} \end{pmatrix}$.

Meine Frage ist, wie ich die Korrelationsmatrix beziehen kann$\Gamma$zum Mean-Field-Ordnungsparameter$\Delta$, der ein Skalar ist, für das Ginzburg-Kriterium?

Bearbeiten: Als Referenz habe ich den folgenden Artikel Path-Integral Description of Cooper Pairing verwendet . In diesem Artikel gibt es eine Definition der Korrelationsmatrix$\Gamma$.