Wie berechnet man die Zustandsdichte aus der Green-Funktion?

Ich möchte die Zustandsdichte (DOS) für ein bestimmtes System darstellen, sagen wir einen S-Wellen-BCS-Supraleiter, dessen Green-Funktion ist

G ( P , ω ) = ω + ξ ω 2 − ξ 2 − Δ 2

wie z. B. im Buch von Abrikosov, Gor'kov und Dzyaloshinski, Gl. (34.16), angegeben, wobei ξ ≈ v F ( P − P F ) stellt die kinetische Energie aus dem chemischen Potential dar E F = v F P F ,, P ist der Schwung, ℏ ω ist die Energie und Δ die supraleitende Lücke.

Eine häufige Definition für das DOS ist

ρ = 1 π lim δ → 0 ℑ { ∫ D P G R ( ω + ich δ ) }

Verwenden der Funktion des verzögerten Grüns (möglicherweise mit einem anderen Proportionalitätsfaktor und / oder Vorzeichen, aber das ist hier nicht der wichtige Punkt, denke ich). Die sogenannte retardierte Greensche Funktion G R ist definiert als Greensche Funktion, die in der Komplexebene der oberen Hälfte analysiert wird.

  • Wie man das DOS berechnet und/oder zeichnet ρ aus G ?

  • Tochtergesellschaft, wie kann man den Zustand bei Nullenergie in einem p-Wellen-Supraleiter sehen? In diesem Fall ist die Green-Funktion so etwas wie

    G = ω + P 2 − P F 2 2 M ω 2 − ( P 2 − P F 2 2 M ) 2 − ( Δ P ) 2

Vielen Dank für jeden Kommentar, der zur Verbesserung dieser Frage beiträgt. Jedes andere Beispiel als die pädagogisch behandelte Supraleitung würde auch helfen.

Noch ein paar Details: Die obige Green-Funktion verifiziert

[ ( ich ℏ ∂ Δ − Δ † − ich ℏ ∂ ) + ℏ 2 2 M ∇ 2 + μ ] G ( X 1 , X 2 ) = δ ( X 1 − X 2 )
mit
G ( X 1 , X 2 ) = ich ℏ ⟨ T ^ ( − Ψ ( X 1 ) Ψ ~ † ( X 1 ) ) ⊗ ( Ψ † ( X 2 ) Ψ ~ ( X 2 ) ) ⟩ = ( G ( X 1 , X 2 ) − F ( X 1 , X 2 ) F † ( X 1 , X 2 ) G † ( X 1 , X 2 ) )
Und Ψ ein fermionischer Operator. Man definiert ξ = P 2 − P F 2 2 M ≈ v F ( P − P F ) in der Straße, und man geht in den Impulsraum, um zu erhalten G ( P , ω ) über. Ich habe die nicht gegeben F Funktion finden Sie in der Antwort von Meng-Cheng unten, die die vollständige enthält G für ein echtes Δ .

Vielleicht bin ich mit dem Jargon der kondensierten Materie nicht vertraut, aber die Funktionen von Green sind Objekte für Differentialgleichungen/Operatoren , nicht für Systeme. Ist dies eine Zweipunkt-Korrelationsfunktion/Propagator?
@ACuriousMind Entschuldigung, dass ich nicht explizit war. Ich habe mehr Details zu der Frage.

Antworten (1)

Sie haben nicht den richtigen infinitesimalen Imaginärteil für die Frequenz in die erste Gleichung für die Green'sche Funktion aufgenommen, was die richtigen Polstrukturen ergeben hätte. Es ist also nicht klar, ob dies zeitlich geordnet, verzögert oder fortgeschritten ist. Die retardierte Green-Funktion ist

G R ( ω , P ) = ω + ξ ( ω + ich δ ) 2 − ξ 2 − Δ 2

Sie können dies entweder direkt erhalten oder eine analytische Fortsetzung der Funktion von Matsubara (imaginäre Zeit) Green durchführen.

Der Imaginärteil ist

ℑ G = − π ( ω + ξ ) ( δ ( ω − ξ 2 + Δ 2 ) + δ ( ω + ξ 2 + Δ 2 ) )

Ein weiteres Problem ist, dass in einem Supraleiter die Greensche Funktion wirklich eine Matrix ist. Die, die Sie haben, ist wahrscheinlich nur ⟨ C C † ⟩ . Die Zustandsdichte ist durch den Imaginärteil der Spur der Matrix-Green-Funktion gegeben. Die volle Greensche Funktion ist gegeben durch

ω + ξ τ z + Δ τ X ω 2 − ξ 2 − Δ 2

Hier τ sind Pauli-Matrizen im Nambu-Raum (Teilchen-Loch-Raum).

Für P -Wellen-Supraleiter, nun, sobald Sie die Green'sche Funktion im Impulsraum aufschreiben, haben Sie überall Translationsinvarianz und eine konstante Supraleitungslücke angenommen. Der Nullenergiezustand tritt nur an Defekten auf, an denen der Ordnungsparameter verschwindet (wie im Kern eines Wirbels oder am Rand). Sie sehen also den Nullenergiezustand dieser speziellen Green-Funktion nicht, weil es keine gibt. Sie müssen die BdG-Gleichung im realen Raum lösen oder die vollständige Gor'kov-Gleichung für die Green-Funktion im realen Raum lösen, um den Nullenergiezustand zu erhalten.

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