Hubbard-Stratonovich-Transformation und Mean-Field-Approximation

Sie sind in der Tat gleichwertig. Es ist ziemlich aufschlussreich und befriedigend, den Beweis dafür zu sehen. Betrachten Sie eine allgemeine Aktion des Formulars

$$Z = \int \exp \left( -S_0[\varphi]+\frac{\lambda}{2} \;\mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\varphi]$$ Wo$S_0$ist die Aktion, um die wir herum stören (wir werden nicht davon ausgehen, dass dies eine freie Theorie ist).

1. Mittlere Feldtheorie. Die wesentliche Annahme ist die

$$\mathcal O([\varphi]) = M + \underbrace{(\mathcal O([\varphi]) -M)}_{= \textrm{ small}}.$$ Das Quadrieren ergibt dies$\mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \approx 2M \mathcal O[\varphi] - M^2$. Wenn wir dies in die Partitionsfunktion einsetzen, erhalten wir die Annäherung an das mittlere Feld: $$\boxed{ Z_\textrm{mf}[M] = e^{- \lambda M^2 / 2} \int \exp \left( -S_0[\varphi]+\lambda M\mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\varphi] }$$ mit der Selbstkonsistenzrelation $$M = \langle \mathcal O[\varphi] \rangle_\textrm{mf} = \frac{1}{\lambda} \partial_M \ln \left( e^{\lambda M^2/2} Z_\textrm{mf}[M] \right).$$ Beachten Sie, dass letzteres äquivalent zu ist$\boxed{ \partial_M \ln Z_\textrm{mf}[M] = 0 }$(was man so interpretieren kann, dass das mittlere Feld die freie Energie extremisiert).

2. Hubbard-Stratonovich-Transformation. Die wesentliche Identität ist

$$\exp\left( \frac{\lambda}{2} \; \mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \right) = \int \exp \left( - \frac{\lambda \mathcal M^2}{2} + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\mathcal M].$$ Wenn wir dies in die ursprüngliche Partitionsfunktion stecken, erhalten wir $$\boxed{ Z = \int \mathrm D[\mathcal M] \; e^{-\lambda \mathcal M^2/2} \int \mathrm D[\varphi] e^{-S_0[\varphi] + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi]} = \int e^{-S_\textrm{HS}[\mathcal M]} \mathrm D [\mathcal M] },$$ mit der Hubbard-Stratonovich-Aktion $$\boxed{ S_\textrm{HS}[\mathcal M] = \frac{\lambda \mathcal M^2 }{2} - \ln \left( \int e^{-S_0[\varphi] + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi]} \; \mathrm D[\varphi] \right) }.$$

3. Zusammenhang zwischen mittlerem Feld und Hubbard-Stratonovich. Aus dem Obigen können wir das direkt sehen$S_\textrm{HS}[\mathcal M ] = - \ln Z_\textrm{mf}[\mathcal M]$. Entsprechend können wir schreiben

$$\boxed{ Z = \int Z_\textrm{mf}[\mathcal M] \; \mathrm D[\mathcal M] } \; .$$ Die Sattelpunktnäherung ist somit $$\boxed{ Z \approx e^{-S_\textrm{HS}[\mathcal M_0]} = Z_\textrm{mf}[\mathcal M_0] \qquad \textrm{with } S'_\textrm{HS}[\mathcal M_0] = 0 },$$ Beachten Sie jedoch, dass die Hubbard-Stratonovich-Wirkung, die extremal ist, genau der Extremalität der freien Energie des mittleren Felds entspricht, dh$\mathcal M_0 = M$. QED.

4. Jenseits der mittleren Feldtheorie. Was haben wir davon? Wir können die quadratischen Korrekturen um diese Sattelpunkt-Approximation herum direkt einbeziehen. Dh, eine bessere Annäherung ist

$$Z \approx \frac{Z_\textrm{mf}[M]}{\sqrt{S''_\textrm{HS}[M]}}.$$ Tatsächlich kann dies verwendet werden, um zu testen, wie zuverlässig/stabil die Mean-Field-Näherung ist.

Sie sind gleichwertig. Aber man könnte sagen, dass diese Hubbard-Stratanovich-Transformation systematischer ist, da es einfacher sein könnte, herauszufinden, wie man über das mittlere Feld hinausgeht. Es könnte auch einfacher sein, verschiedene Arten von Kanälen zu kombinieren (z. B. haben Sie in Ihrem Beispiel einen Partikel-Loch-Kanal ausgewählt, während Sie im Fall der Supraleitung einen Partikel-Partikel-Kanal auswählen würden).$c^\dagger c^\dagger c c\to c^\dagger c^\dagger\langle c c \rangle+ \langle c^\dagger c^\dagger \rangle c c$). Man sollte jedoch bedenken, dass die HS-Transformation willkürlich ist (Sie können eine beliebige Anzahl von ihnen kombinieren) und die verschiedenen Theorien zum mittleren Feld, die man von ihnen erhält, unterschiedliche Ergebnisse liefern (obwohl die Ergebnisse dies tun würden, wenn man die Berechnung genau durchführen könnte). gleich sein).

Die Wahl der geeigneten HS-Transformation ist immer eine fundierte Vermutung.