Mittlere Feldtheorie vs. Gaußsche Approximation?

Die Mean-Field-Approximation läuft auf die Auswertung des Funktionsintegrals für die Zustandssumme in Sattelpunkt-Approximation hinaus, während die Gauß-Approximation quadratische Fluktuationen um den Sattelpunkt herum beibehält und somit die Korrektur niedrigster Ordnung zur Mean-Field-Approximation in eine Schwankungsausdehnung einbezieht um den Sattelpunkt.

Die Gaußsche Approximation ist eng verwandt mit der Random-Phase-Approximation, insbesondere im Zusammenhang mit Quanten-Vielteilchensystemen, während die Mean-Field-Approximation in diesem Fall als die selbstkonsistente Hartree-Fock-Approximation angesehen werden könnte.

Der Grund für die Verwirrung kann darin liegen, dass die Gaußsche Näherung nur gültig ist, wenn die Dimensionalität des Systems größer als eine bestimmte obere kritische Dimension ist. Da diese Dimension für die Ising-Universalitätsklasse 4 ist, reicht die Gaußsche Näherung nicht aus, um das kritische Verhalten von Ising-Magneten in experimentell zugänglichen Dimensionen zu beschreiben, weshalb Ihnen vielleicht gesagt wurde, dass sie auf der gleichen Ebene wie die Mean-Field-Näherung liegt ?

Hier ist ein Buchkapitel zur Lösung Ihres Problems: Kopietz et al. "Mean-Field-Theorie und die Gaußsche Approximation". Vortrag. Hinweise Phys. 798, 23–52 (2010) [ PDF ].

Eine Quantenfeldtheorie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (Maß) über den Raum aller Feldkonfigurationen modelliert, die implizit durch ein Wirkungsfunktional spezifiziert ist. Wir versuchen, Systeme zu beschreiben, indem wir ihre Verteilungen durch Momente (Korrelationsfunktionen) charakterisieren.

Eine einfache Charakterisierung für die multivariate Verteilung (jeder Punkt entspricht einer Zufallsvariablen) besteht darin, ihren Mittelwert an jedem Punkt im Raum anzugeben. Die Mean-Field-Approximation macht genau das – sie vernachlässigt alle „Schwankungen“ der Feldwerte an jedem Punkt und berücksichtigt ein klassisches „Feldprofil“. Üblicherweise wird auch angenommen, dass dieses Feldprofil räumlich einheitlich ist, so dass man bequem nach selbstkonsistenten Antworten für den Hintergrundfeldwert auflösen kann. Beachten Sie auch, dass eine solche Lösung (niedrigste Aktionskonfiguration, dh maximale Wahrscheinlichkeit, wie sie normalerweise in der Physik berechnet wird) tatsächlich der "Modus" der Verteilung ist - aber der Modus und der Mittelwert sind austauschbar, wenn die Verteilung Spitzen und große Schwankungen aufweist vernachlässigbares Maß haben. (Hinweis: Wenn sich das System nicht in diesem Regime befindet,

Quantenmechanisch gesehen ist die wahre Lösung die Überlagerung einer Reihe von Konfigurationen, die als "Fluktuationen" um das "mittlere" Feld herum modelliert werden. Unter Vernachlässigung jeglicher Wechselwirkungen zwischen diesen Fluktuationen an verschiedenen Punkten (unterdrückt durch eine Kopplungskonstante) wird die Dynamik führender Ordnung durch eine quadratische Lagrange-Funktion erfasst – nur die kinetischen/gradienten Terme für die Fluktuationen. Da diese Aktion zu einem Gaußschen Maß für die schwankenden Freiheitsgrade führt, wird sie auch als Gaußsche Approximation bezeichnet. Dies ist gleichbedeutend damit, jeden Schwankungsfreiheitsgrad als unabhängigen harmonischen Oszillator zu behandeln (im Wesentlichen "Freifeldtheorie").

Ob jede dieser Annäherungen nützlich ist, hängt von Details wie der Größe der Kopplungskonstante, der Dimensionalität des Systems usw. ab. Die Essenz all dieser Bedingungen hängt davon ab, ob die Auswirkung von Fluktuationen ausreichend kontrolliert/vernachlässigbar ist. Ein gemeinsames Thema in der statistischen Physik ist die Anwendbarkeit dieser Näherungen in einem Parameterregime und die Dominanz von Fluktuationen in einem anderen Regime mit einem Phasenübergang, wenn sich die geeignete Beschreibung von einem Renormierungsgruppen-Anziehungsbecken zu einem anderen ändert.

Ich konnte den Kommentar nicht machen, also werde ich hier nur auf Ihre Bearbeitung antworten.

Die von Ihnen erwähnte Referenz ("Einführung in die Functional Renormalization Group", Link ) führt tatsächlich die vollständige Analyse für die MFA und GA des von Ihnen niedergeschriebenen Ising-Modells durch. Ich denke, der Teil, den Sie vielleicht übersehen haben, ist der Abschnitt 2.2.2, wo die Autoren das tun$\phi^4$Kürzung auf die freie Energie von Ginzburg-Landau. Von dort aus können Sie Abschnitt 2.1.2 folgen, um die MF-Analyse durchzuführen, die der Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung entspricht. Danach führen sie die GA-Korrektur der freien Energie gemäß Abschnitt 2.3.1 durch, indem sie die Feldkonfiguration um die MF-Lösung auf die quadratische Ordnung erweitern und die Gaußsche Integration durchführen.

Nach der Berechnung sollte klar sein, dass die letzte Gaußsche Integration nach dem mittleren Feldteil einen zusätzlichen Term zur freien Energie beiträgt und somit die Korrektur führender Ordnung ist (obwohl im Allgemeinen kein kontrollierter Fehler).

Was Ihre ursprüngliche Frage betrifft: "Bei mehreren Gelegenheiten (im Kontext des Ising-Modells), dass die Gaußsche Näherung auf dem gleichen Niveau wie MFT liegt.", wird im Buch gezeigt, dass es für D> 4 tatsächlich keine gibt Korrektur auf die kritischen Exponenten überhaupt.

Ob die beiden Näherungen äquivalent sind oder nicht, hängt davon ab, was Sie zu berechnen versuchen. Formal erzeugt die Gaußsche Approximation immer einen Term jenseits der Mean-Field-Approximation. In einigen Anwendungen hängt dieser zusätzliche Term jedoch nicht (nicht trivialerweise) von den Kopplungen ab, die Ihnen wichtig sind, sodass er der Aktion nur eine Konstante hinzufügt und keine physikalischen Observablen beeinflusst. Zum Beispiel sagt Kopietz Abschnitt 2.3.2

Gaußsche Fluktuationen modifizieren nicht die Mean-Field-Vorhersagen für die Exponenten β, γ und δ, die sich auf die homogenen Ordnungsparameter-Fluktuationen beziehen. Innerhalb der Gaußschen Näherung erhalten wir daher immer noch β = 1/2, γ = 1 und δ = 3. Andererseits unterscheidet sich die Gaußsche Näherung für den spezifischen Wärmeexponenten α von der Mean-Field-Vorhersage α = 0, weil die Fluktuationen mit endlichen Wellenvektoren einen nichttrivialen Beitrag Δf zur freien Energie pro Gitterplatz liefern.

Bei manchen Berechnungen (z. B. dem Nachbildungstrick für ungeordnete Systeme) haben wir eine Wirkung der Form$Z = \int D\varphi\ e^{-\beta N f[\varphi]}$, wo die freie Energiedichte$f$hängt nicht von der Systemgröße ab$N$. In diesem Fall die Mean-Field-Approximation$Z \propto e^{-\beta N f(\bar{\varphi})}$wird im Groß-$N$thermodynamische Grenze, und die Gaußschen Korrekturen manifestieren sich als Korrekturen endlicher Größe, die uns selten interessieren.

Im thermodynamischen Grenzfall wird das mittlere Feldergebnis des Ising-Modells exakt. Da die Gaußsche Näherung Korrekturen des mittleren Feldes enthält, können Sie diese Technik verwenden, um zu zeigen, dass diese Korrekturen im thermodynamischen Limit verschwinden. In diesem Sinne sind das mittlere Feld und die Gaußsche Näherung in der thermodynamischen Grenze identisch, da sie beide exakt sind.