Ich kann versuchen, die allgemeine Idee hier zu skizzieren, aber meine Schlussfolgerung ist möglicherweise nicht sehr genau (bitte lesen Sie in Ihren Büchern nach, um die Koeffizienten und Vorzeichenkonventionen zu überprüfen).
Ich denke also, die Frage ist, dass ein freies Fermion-System gegeben ist, das durch die folgende Aktion beschrieben wird
S= −∑kψ†kG− 1( k )ψk, . . . ( 1 )
Wo
G ( k ) = − ⟨ψkψ†k⟩
ist die Greensche Funktion bei der Impulsfrequenz
k = ( ich ω ,k⃗ )
, was ist die elektrische DC-Leitfähigkeit?
- Beginnen Sie mit der Definition der LeitfähigkeitJμ=σμ νEv
(WoJμ
ist die aktuelle undEv
ist das elektrische Feld). Betrachten Sie die lineare (differentielle) Antwort
σμ ν=δJμδEv. . . . ( 2 )
- Führen Sie das Eichpotential einAμ
. Per Definition ist Strom die Quelle des Messpotentials, dhJμ= δS/ δAμ
, und das elektrische Feld ist der konjugierte Impuls des Eichpotentials, was bedeutetEv=∂TAv
nach der Bewegungsgleichung. Setzen Sie in den Ausdruck Gl. (2) fürσ
σμ ν=δδ∂TAvδSδAμ= − ichδA0δAvδAμS. . . . ( 3 )
Weilich∂T
bedeutet die Frequenzich ω
. Für DC-Leitfähigkeit sollten wir die Frequenz sendenich ω → 0
, was bedeutet, dass wir tatsächlich in Bezug auf variierenich ω
. Aber weilich ω
tritt immer mit dem chemischen Potential aufA0
in Form von( ich ω +A0)
in der Aktion, also wird es gleichbedeutend mit nur in Bezug auf variierenA0
. So können wir ersetzen1 /∂T
von− ichδA0
(Es gibt mehr strenge Abzüge für diesen Ersatz, aber lassen Sie uns vorerst dieses einfache Argument nehmen).
- Sie fragen sich vielleicht, wie das Messpotential istAμ
trat in die Aktion einS
(Beachten Sie, dass die ursprüngliche Fermion-Aktion nicht einmal das Feld enthältAμ
). Dies geschieht durch die minimale Kopplungsprozedur, die einfach jeden ersetzenk
vonk + A
. Die Wirkung in Gl. (1) ist eigentlichS= −∑kψ†kG− 1( k + A )ψk
. Die Idee ist dann, das Fermion-Feld zu integrierenψ
, und erhalten Sie die effektive Aktion für das EichfeldS[ EIN ]
, kann dann die Leitfähigkeit nach Gl. (3). Aber all dies kann auf einfachere Weise erreicht werden, indem man sich dessen bewusst istk
erscheint immer mitA
, SoδA=δk
, und damit Gl. (3) wird
σμ ν= − ichδk0δkvδkμS. . . . ( 4 )
- Um die Impuls-Frequenz-Variation zu berechnen, sollten wir zuerst das Fermion-Feld herausintegrierenψ
:
S−→−−∫D [ψ]S= −∑kTr.ln _( -G− 1( k ) ) . . . . ( 5 )
Anwendung der AbleitungsregelδG = G ( δG− 1) G
was aus der Definition folgtGG− 1≡ 1
(und durch Variieren beider Seiten) ist es nicht schwer, aus den Gl. (4) und (5) das
σμ ν= − ich∑kTr G ( k )γ0G ( k )γvG ( k )γμ, . . . ( 6 )
bei dem dieγ
Matrizen sind definiert als
γμ= −∂kμG− 1( k ) . . . . ( 7 )
OK. Gl. (6) ist bereits die Kubo-Formel, die in Bezug auf die Green-Funktion geschrieben wurde. Sie können einfach Ihre Green-Funktion einstecken und die Impuls-Frequenz-Summierung vervollständigen, um die elektrische Leitfähigkeit zu erhalten.
BEISPIEL:
Um zu demonstrieren, wie dies funktioniert, gestatten Sie mir bitte, ein einfaches Beispiel vorzustellen. Betrachten Sie die Hall-Leitfähigkeit eines Zweibandsystems
G ( k ) = ( ich ωσ0−k1σ1−k2σ2− mσ3)− 1=ich ωσ0+k1σ1+k2σ2+ mσ3( ich ω)2−E2,
mit
E=k21+k22+M2−−−−−−−−−−√
. Aus Gleichung (7),
γ0= −σ0
,
γ1=σ1
,
γ2=σ2
. Dann Einstecken in Gl. (6).
σμ ν=∑k2 m( ( ich ω)2−E2)2=∑k⃗ M2E3=M2 | m |,
was wir für einen einzelnen Dirac-Kegel erwarten.
wsc
Garwan
Benutzer27777