Beispiele für kondensierte Materie oder Hochenergie, bei denen eine n≥2n≥2n\ge 2 -Korrektur mit höherer Schleife wichtige physikalische Konsequenzen haben kann?

Sicher. Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

• Das anomale magnetische Moment des Elektrons ist für fünf Schleifen (plus zwei Schleifen in den schwachen Bosonen) bekannt (und wird benötigt). Es wird verwendet, um die Feinstrukturkonstante mit einer relativen Standardunsicherheit von weniger als einem Teil pro Milliarde zu messen. In ähnlicher Weise wurde das anomale magnetische Moment des Myons als ziemlich sauberer und quantitativer Beweis für Physik jenseits des Standardmodells vorgeschlagen (vgl. diesen PSE-Beitrag ). Noch wichtiger (und im Wesentlichen aufgrund der leptonischen Universalität), ist die Berechnung der Anomalie in einer Schleife massenunabhängig (dh für die drei Generationen gleich). Man muss die Anomalie zu mindestens zwei Schleifen berechnen, um einen Unterschied beobachten zu können (historisch gesehen war dieser Unterschied und seine Übereinstimmung mit der Berechnung der überzeugendste Beweis dafür, dass das Myon ein Lepton ist, also ein schweres Elektron; einige Zeit dachte man, es könnte eher das Yukawa-Meson sein).

• In ähnlicher Weise ist die Zerfallsbreite des Myons der beste Parameter, um die schwache Kopplungskonstante zu messen, und die aktuelle experimentelle Genauigkeit erfordert eine theoretische Berechnung für mehrere Schleifen. (Ganz allgemein messen mehrere Präzisionstests des elektroschwachen Teils des Standardmodells bereits Zweischleifen und darüber hinaus).

• Die Tatsache, dass massive nicht-abelsche Yang-Mühlen nicht renormierbar sind, kann nur durch Berechnung zweier Schleifen festgestellt werden (vgl. diesen PSE-Beitrag ). In der Ein-Schleifen-Näherung scheint die Theorie renormierbar zu sein.

• Die Tatsache, dass die naive Quantengravitation (im Vakuum) nicht renormierbar ist, kann nur durch die Berechnung von zwei Schleifen festgestellt werden (vgl. diesen PSE-Beitrag ). In der Ein-Schleifen-Näherung scheint die Theorie renormierbar zu sein.

• Einige Objekte sind tatsächlich genau eine Schleife (die Beta-Funktion in supersymmetrischen Yang-Mühlen, die axiale Anomalie usw.). Dies kann störungsfrei festgestellt werden, aber man steht diesen Ergebnissen wegen der üblichen Feinheiten, die der QFT innewohnen, normalerweise skeptisch gegenüber. Die explizite Zwei-Schleifen-Berechnung dieser Objekte trug dazu bei, die Community davon zu überzeugen, dass hinter QFT ein kohärentes Gesamtbild steckt, auch wenn die Details manchmal nicht so streng sind, wie man es gerne hätte.

• In vielen Fällen verschwinden die in der Störungstheorie auftretenden Gegenterme tatsächlich in einer Schleife (z. B. die Renormierung der Wellenfunktion in$\phi^4$In$d=4$). In diesem Fall müssen Sie den Zwei-Schleifen-Beitrag berechnen, um den ersten nicht trivialen Beitrag zur Beta-Funktion und zur anomalen Dimension zu erhalten, um beispielsweise feststellen zu können, ob die Theorie IR/UV-frei ist .

• In supersymmetrischen Theorien bricht die dimensionale Regularisierung die Supersymmetrie (im Wesentlichen, weil die Anzahl der Freiheitsgrade von Fermionen unterschiedlich mitwächst$d$von denen der Bosonen). Bei Ein-Schleifen-Ordnung wirkt sich dies nur auf den endlichen Teil der Gegenbegriffe aus (was keine schreckliche Situation ist), aber ab Zwei-Schleifen und darüber hinaus wirkt sich die Verletzung von SUSY auch auf den divergierenden Teil der Gegenbegriffe aus, was in Umdrehungen wirkt sich auf die Beta-Funktionen aus. (Die Lösung besteht darin, das sogenannte Dimensionsreduktionsschema zu verwenden ).

• In einer willkürlichen Theorie ist die Beta-Funktion für die Reihenfolge einer Schleife unabhängig vom Regularisierungsschema. Ab zwei Schleifen wird die Beta-Funktion schemaabhängig (vgl. diesen PSE-Beitrag ). Dies hat einige lustige Konsequenzen, wie die Möglichkeit, das sogenannte 't Hooft-Renormalisierungsschema einzuführen (vgl. diesen PSE-Beitrag ), bei dem die Beta-Funktion tatsächlich zweischleifengenau ist!

• Es wurde vor nicht allzu langer Zeit angedeutet, dass es einige Auswahlmöglichkeiten für den Messgeräteparameter geben könnte$\xi$die alle Abweichungen heilen. Zum Beispiel zu einer Schleife, dem Yennie-Messgerät$\xi=3$eliminiert die IR-Divergenz in QED (verbunden mit der Masselosigkeit des Photons), und die Leute dachten über die Möglichkeit nach, dass dies für jede Schleifenordnung gelten könnte. Ebenso die Landau-Spur$\xi=0$macht dasselbe bei den UV-Divergenzen. Jetzt wissen wir, dass dies in beiden Fällen nur ein Zufall ist und keine solche Stornierung für höhere Bestellungen gilt. Aber das wissen wir nur, weil die eigentliche Berechnung in höheren Schleifen durchgeführt wurde; Andernfalls wäre die Möglichkeit, dass eine solche Stornierung für jede Bestellung funktioniert, immer noch auf dem Tisch. Und es wäre definitiv eine wünschenswerte Situation!

• Die Tatsache, dass das Vakuum des Standardmodells instabil ist, wenn die Higgs-Masse ist$m_h>129.4\ \mathrm{GeV}$erfordert eine Berechnung in zwei Schleifen (vgl. arXiv:1205.6497 ). Das macht Spaß: Warum ist die Grenze zu nah am gemessenen Wert? Könnten höhere Schleifen die Zahl noch näher bringen? Das würde doch bestimmt was heißen!

• Eine aussagekräftige und konsistente Schätzung des GUT-Punkts wurde durch die Berücksichtigung von zwei Schleifen erhalten (z. B. arXiv:hep-ph/9209232 , arXiv:1011.2927 usw.; siehe auch Grand Unified Theories , aus dem pdg).

• Die Wiederaufnahme divergierender Serien ist ein sehr wichtiges und aktuelles Thema, nicht nur in der Praxis, sondern auch grundsätzlich. Um diese Resummationsverfahren testen zu können, ist es unabdingbar, Diagramme mit sehr hoher Schleifenordnung berechnen zu können.

• Historisch gesehen wurden die ersten Tests der Renormierungsgruppengleichung im Vergleich zu einer expliziten Zwei-Schleifen-Berechnung durchgeführt. In der Tat ermöglicht Ihnen die RGE, die Large-Log-Beiträge mit zwei Schleifen zu schätzen, wenn die Berechnung mit einer Schleife gegeben ist. Die Tatsache, dass die explizite Zwei-Schleifen-Berechnung mit dem übereinstimmte, was die RGE vorhersagte, trug dazu bei, die Community davon zu überzeugen, dass letzteres ein korrektes und nützliches Konzept war.

• In gleicher Weise wurde die anfängliche Einschleifenberechnung der kritischen Exponenten (am Wilson-Fisher-Fixpunkt) bestimmter Systeme mit viel Skepsis betrachtet (schließlich war es eine Potenzerweiterung von$\epsilon=1$, mit$d=4-\epsilon$). Die Übereinstimmung mit dem Versuchsergebnis könnte durchaus Zufall gewesen sein. Höhere Schleifen festigten das Wilsonsche Bild der QFT und die ganze Idee, irrelevante Operatoren auszugliedern. Heutzutage sind die kritischen Exponenten (in$(\boldsymbol \phi^2)^2$Theorie) wurden bis zu fünf Schleifen berechnet, und die Übereinstimmung (nach Borel-Resummierung) mit Experimenten/Simulationen ist wunderbar. Und selbst wenn die asymptotische Reihe numerisch nicht genau wäre, könnte man argumentieren, dass das Ergebnis immer noch sehr informativ/nützlich ist, zumindest was die Klassifizierung von Universalitätsklassen betrifft.

• Allgemein gesagt werden Schleifenberechnungen ab zwei Schleifen viel interessanter (und herausfordernder), da sich überlappende Divergenzen, das Auftreten transzendenter Integrale (Polylogarithmen) usw um die Konvergenz der Feynman-Integrale zu ermitteln. Die nicht-triviale Struktur einer lokalen QFT ist erst ab zwei Schleifen ersichtlich (zB die Faktorisierung der Symanzik-Polynome in den Hepp-Sektoren, die der Schlüssel zu Weinbergs Konvergenzsatz ist, etc.).

Einige dieser Beispiele sind zugegebenermaßen konstruierter als andere, aber ich hoffe, dass sie gemeinsam dazu beitragen, Sie davon zu überzeugen, dass höhere Ordnungen in der Störungstheorie nicht nur eine Lehrbuchübung sind.