Nambu-Goldstone-Bosonen aus Symmetriebruch einer Quantenanomalie?

Wir wissen das:

Nambu-Goldstone-Bosonen stammen aus dem Goldstone-Theorem: Eine spontane (kontinuierliche) Symmetriebrechung des Systems führt zu masselosen Skalarmoden.

Quantenanomalie : ist das anomale Phänomen, bei dem die (klassische Noether-)Symmetrie G vom physikalischen System in einer klassischen Grenze eingehalten wird, diese Symmetrie G aber durch den Quanteneffekt gebrochen wird. Dies ist bei der Aktion der Fall S bewahrt die Symmetrie, aber die Pfadintegral-Partitionsfunktion Z = ∫ [ D Ψ ] [ D Φ ] … e ich S und die Maßnahmen [ D Ψ ] [ D Φ ] … bewahrt die Symmetrie nicht .

  • Frage : Gibt es ein Beispiel dafür, dass Nambu-Goldstone-Bosonen aus einer spontanen Symmetriebrechung, die durch einen Quantenanomalieeffekt verursacht wird, abgeleitet werden können? Alternativ, ob es ein bekanntes Theorem gibt, um zu beweisen, dass "Keine Nambu-Goldstone-Bosonen von einer Quantenanomalie-Symmetrie brechen?"

[Warnung und Randbemerkung]: Ich biete einige weitere Gedanken an, wenn Sie möchten, können Sie sie überspringen. Es ist eine Aussage gelernt: Nambu-Goldstone-Bosonen treten im Allgemeinen nicht für eine spontan gebrochene Symmetrie auf, wenn die relevante globale Symmetrie durch die Auswirkungen der Anomalie und Instantonen gebrochen wird. Dies wird als Grund angesehen, warum wir kein leichtes Pseudo-Skalar-Meson beobachten η ' in den QCD-Mesonen. 1 unter den 9 Mesonen ist dies η ' , was für axial steht U ( 1 ) EIN Anomale Symmetriebrechungen gibt es noch S U ( N f l a v l Ö r ) EIN = S U ( 3 ) EIN das durch dynamisches Symmetriebrechen spontan gebrochen wird, was 8 unter den 9 Mesonen, wie etwa drei, induziert π , drei κ , und ein η . Es gibt auch S U ( N f l a v l Ö r ) v = S U ( 3 ) v gebrochen durch die expliziten Quarkmassen ungleich Null ( m u ≠ m d ≠ m s ). Es gibt auch U ( 1 ) v gebrochen durch Sphaleron, so dass numebr von Baryon N b a r j Ö n nicht konserviert ist, sondern nur konservierte Zahlen von N b a r j Ö n − N l e p t Ö n . Jedenfalls insgesamt

S U ( N ) v × S U ( N ) EIN × U ( 1 ) v × U ( 1 ) EIN
macht es voll U ( N ) v × U ( N ) EIN .

Einfach das U ( 1 ) EIN Die Symmetrie wird durch den Quanteneffekt anomal gebrochen, aber wir sehen sein Goldstone-Boson nicht η ' .

p.s. Bitte lesen Sie die vollständigen Kommentare unter den Fragen.

Ich frage mich, ob es nicht mit diesem 'Hooft-Papier' zusammenhängt , das heißt: "Chiral U (1) wird explizit durch Instantons gebrochen"?
Ich bin ein wenig verwirrt über die Aussage "... eine spontane Symmetriebrechung, die durch einen Quantenanomalieeffekt verursacht wird" . Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, warum die Quantenanomalie als "spontane Symmetriebrechung" der Symmetrie angesehen werden kann ...? Lassen Sie mich dazu ein paar naive Bemerkungen machen, die sehr wohl falsch sein könnten. Üblicherweise werden Anomalien als die Unmöglichkeit beschrieben, ein Regularisierungsschema zu finden, in dem die anomale Symmetrie explizit erhalten bleibt, was impliziert, dass die Anomalie ein Problem der UV-Vervollständigung ist.
Wie Sie jedoch sehr wahrscheinlich wissen, besagt die 't Hooft-Anomalie-Übereinstimmungsbedingung, dass die Anomalie maßstabsunabhängig ist und die UV- und IR-Anomalien übereinstimmen müssen. Für mich scheint dies zu implizieren, dass die anomale Symmetrie überhaupt keine Symmetrie der Theorie in irgendeiner Grenze ist. Es scheint nur eine Symmetrie in der naiven klassischen Grenze zu sein, aber das ist nur eine Illusion. Es handelt sich also nicht um einen spontanen oder expliziten Symmetriebruch, sondern um ein Fehlen von Symmetrie. Diese Argumentation könnte jedoch sehr wahrscheinlich falsch sein.
Zur Unterstützung von @Heidar ist die Anomalie überhaupt nicht wie spontanes Brechen. Wenn überhaupt, ist es so, als würde man einfach einen Term im Lagrangian hinzufügen, der die Symmetrie verletzt. Verfügt ein System über eine S U ( 2 ) Spinsymmetrie, erwarten Sie kein Goldstone-Boson, wenn Sie ein externes Magnetfeld einschalten. Wenn im Nullfeld SSB vorhanden ist, erwarten Sie, dass das Einschalten eines Magneten dazu führt, dass das Goldstone-Boson (Magnon) eine Lücke entwickelt. Dasselbe gilt für die η ' (und in geringerem Maße auch mit den anderen Pionen bezüglich der Quarkmasse).
AN Heidar: Ich stimme dem zu, was Heidar gesagt hat. Mein ursprüngliches Verständnis ist, dass die Quantenanomalie für eine aktuelle Nichterhaltung in Bezug auf G eine Tatsache ist, dass es für dieses System von Anfang an überhaupt keine G-Symmetrie gibt . Deshalb haben wir es nicht η ' meson, wie ich das Beispiel gab. Allerdings lese ich diese Aussage aus Fuijikawas Buch „Path Integral and Quantum Anomaly“: Abschnitt 5.6.2 „Nambu-Goldstone-Bosonen treten im Allgemeinen nicht für eine spontan gebrochene Symmetrie auf, wenn die relevante globale Symmetrie durch die Auswirkungen der Anomalie gebrochen wird und und Instantonen"
weiter: und Weinbergs Buch QFT II, ​​Sec. 22.7 Anomalien und Goldstone-Bosonen . „Die Theorie des gemessenen effektiven Feldes der Goldstone-Bosonen muss eine Anomalie für die Fiktionssymmetrie haben, die gleich der ist, die aus der zugrunde liegenden (Fermion-)Theorie hervorgegangen ist.“ Ich dachte, es gibt vielleicht etwas Raum, um ein bisschen mehr für diese Frage nachzudenken?
Weiter: Ich meine, zum Beispiel kann man eine explizite analytische Übung mit Fujikawas Pfadintegralansatz machen, wo eine globale Symmetrietransformation G (der zugrunde liegenden Fermionik) durch eine Quantenanomalie gebrochen wird, aber diese Symmetrie G ist explizit die gleiche Symmetrie von a Bosonisches Feldpotential (z. B. G zerlegt in N, wie O (N) zerlegt in O (N-1) oder U ( N ) zerlegt zu S U ( N ) ) ? Ich frage mich, ob es sinnvoll ist, diese Analyse durchzuführen, um zu sehen, dass es |G/N| gibt/nicht gibt Anzahl der Goldstone-Bosonen?
Lieber @Idear, ich stimme Heider auch zu. Sie scheinen sich durch das irreführende Vokabular dazu zu manipulieren, seltsame (falsche) Dinge zu denken. Warum sagen Sie immer wieder "eine Symmetrie wird durch eine Anomalie gebrochen", wenn Sie (in einem Kommentar oben) akzeptiert haben, dass eine Anomalie kein (spontaner) Symmetriebruch ist? Eine Anomalie ist ein Beweis dafür, dass die scheinbare Symmetrie von Anfang an eine Illusion war. Der Strom wird nicht konserviert. Es gibt eine rechte Seite, genau wie bei einer expliziten Symmetriebrechung.
An Lubos und Heidar: Schauen Sie in die Originalstudie von tHooft, den Titel der Arbeit: Phys. Rev. Lett. 37, 8–11 (1976) - Symmetry Breaking Through Bell-Jackiw Anomalies-Gerard 't Hooft , mag es fair sein, einige Credits zu geben, um die Beziehung zwischen der Anomalie und dem Symmetriebruch in Frage zu stellen. (Wie gesagt, ich stimme zu, dass die Symmetrie ursprünglich nicht einmal vorhanden ist, aber spielt es eine Rolle, wie wir interpretieren, warum dort keine Symmetrie vorhanden ist?) Sie verwenden die kanonische Denkweise, ich weiß, aber ich stelle immer noch eine alternative Denkweise in Frage .
Nochmals zu Lubos und Heidar: Sie beantworten die Standardlehrbuchaussage (die jeder aus dem Standard-QFT-Lehrbuch lesen kann, und ich hatte gelernt), ich stelle diese Frageebene nicht. Ich stelle eine subtilere (oder tiefere) Frage. Bitte verdauen Sie meine Frage, bevor Sie versuchen, sie zu beantworten. Vielen Dank.
Lesen Sie die Aussage von t 'Hooft PRL 37,8 (1976): „Wenn man versucht, ein realistisches Naturmodell zu konstruieren, wird man oft mit der Schwierigkeit konfrontiert, dass die meisten einfachen Modelle zu viel Symmetrie haben. Viele Symmetrien in der Natur sind leicht gebrochen, was zum Beispiel zu Lepton- und Quarkmassen und CP-Verletzung führt. Hier schlage ich vor, eine neue Quelle der Symmetriebrechung in Betracht zu ziehen: die Bell-Jackiw-Anomalie.“ Sogar 't Hooft betrachtet die ABJ-Anomalie als eine Möglichkeit, die Symmetrie zu brechen. Daher ist es fair für mich, die Möglichkeit zu fragen, dass Nambu-Goldstone-Bosonen aus einer Quantenanomalie die Symmetrie brechen .

Antworten (2)

In Ihrer Frage sind zwei verschiedene Arten von Symmetriebrüchen enthalten. Die erste wäre spontane Symmetriebrechung, in diesem Fall haben wir es mit einer Theorie zu tun, die unter einer bestimmten Symmetriegruppe invariant ist, ihr Vakuum jedoch nicht. Die Symmetriebrechung entspricht einer gezielten Wahl des Vakuums, die Freiheit der Vakuumwahl ergibt einen neuen Freiheitsgrad: das Nambu-Goldstone-Boson. Abhängig von der Art der gebrochenen Symmetrie kann man eine oder mehrere davon bekommen. Im Fall der chiralen Symmetrie von QCD ist die S U ( N f ) EIN Ein Teil wird spontan gebrochen, was zu acht masselosen Bosonen führt. Der andere axiale Teil, U ( 1 ) EIN , wird jedoch nicht spontan gebrochen.

Die zweite Art der Symmetriebrechung würde durch Quantenanomalien induziert. Wir sprechen von einer solchen Anomalie, wenn eine Theorie unter einer bestimmten Symmetrieoperation klassisch invariant ist, die entsprechende Quantentheorie jedoch nicht. Im Sinne des Pfadintegralformalismus manifestiert sich dies darin, dass sich das Maß auf nichttriviale Weise transformiert. Ein Beispiel wäre das Brechen der Achse U ( 1 ) EIN Teil der chiralen Symmetrie in QCD, die nicht mit der Wahl eines Vakuums zusammenhängt, und es ist kein Nambu-Goldstone-Boson damit verbunden. Tatsächlich lässt es sich auf etwas ganz anderes zurückführen, nämlich auf Instantonen. Das Auftreten einer Anomalie hängt mit der Anzahl der fermionischen Nullmoden der Theorie zusammen: Der Unterschied zwischen fermionischen und antifermionischen Nullmoden ist durch die Pontryagin-Zahl der topologischen Instanton-Konfiguration der Eichfelder gegeben. Dies ist auch als Atiyah-Singer-Theorem bekannt.

Da diese beiden möglichen Symmetriebrechungsmechanismen ziemlich unterschiedlich sind, kann das Konzept der Nambu-Goldstone-Bosonen, die aus Quantenanomalien entstehen, nur das Ergebnis einer nachlässigen, nicht standardmäßigen Terminologie sein.

Beachten Sie zunächst, dass das Brechen der chiralen Symmetrie auf der Ebene der Theoriezustände auftritt, wo eine Menge nichttrivialer Vakuums existiert, die durch Symmetrietransformationen miteinander verbunden sind und daher unter der Eichtransformation nicht invariant sind. Die Theorie selbst auf der Ebene des Pfadintegrals ist eichinvariant. Wenn die Theorie nicht invariant ist, dann können wir von SSB mit ungefähr exakter Symmetrie sprechen, wenn Brucheffekte klein sind im Vergleich zu der CSB-Skala, ansonsten gibt es keine annähernde Symmetrie.

Wie aus den Kommentaren zu der Frage hervorgeht, dachten Sie, dass Anomalien, die die Symmetrie explizit brechen , im Sinne der Anomalie-Übereinstimmungsbedingungen von 't Hooft zur Existenz von Nambu-Goldstone-Bosonen führen. Dies ist ein Missverständnis der Bedingungen.

Wirklich, 't Hooft Anomaly Matching besagt, dass, wenn wir anfänglich eine Theorie mit chiralen Fermionen und Eichbosonen haben, und der Femionensektor die globale Symmetriegruppe hat G , das frei von Pegelanomalien ist (Nr G Messgerät 2 G Anomalien), die aber selbst anomal sind (es gibt G 3 Anomalien), dann müssen nach dem Confinement masselose Fermion-gebundene Zustände existieren, die die anomale Struktur der Symmetriegruppe in der ursprünglichen Theorie reproduzieren; andernfalls muss es eine spontane Symmetriebrechung geben. Aber gibt es einen Symmetriebruch (dh gegenwärtige Nichterhaltung) durch Anomalie?

Tatsächlich nein. Vorhandensein G 3 Anomalien bedeutet nur, dass es im Dreiecksdiagramm mit drei symmetrische Tensoren mit Gruppenindizes gibt G Strömungen, nämlich

d a b c ≡ Tr [ [ t a , t b ] + t c ]
Dies bedeutet, dass, wenn wir uns entscheiden, die zu messen G Gruppe, werden wir mit der aktuellen Nichterhaltung konfrontiert. Ansonsten gibt es keine aktuelle Nichterhaltung und damit keine Symmetriebrechung. Zum Beispiel die globale Symmetriegruppe der reinen QCD G ∼ S U L ( 3 ) × S U R ( 3 ) × U B ( 1 ) ist im chiralen Limes exakt, obwohl es selbst anonal ist.

Nambu-Goldstone-Bosonen aus Symmetriebruch einer Quantenanomalie?
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