1+1d TSC als Zf2Z2fZ_2^f symmetriebrechende topologische Ordnung?

Ich habe mich kürzlich mit einem umfassenden Problem über die Beziehung zwischen topologischem Supraleiter und topologischer Ordnung herumgeschlagen. Meine Frage stammt aus dem Lesen einer Arbeit von Prof. Wen http://arxiv.org/abs/1412.5985 , ebenfalls eine zuvor beantwortete Frage. Zeigen topologische Supraleiter eine symmetrieangereicherte topologische Ordnung? , in der sich Prof. Wens Kommentar auch sehr stark mit meinen unten gestellten Fragen beschäftigt.

Es wurde behauptet, dass der topologische 1+1d-Supraleiter ein Fall einer 1+1d-fermionischen topologischen Ordnung ist (oder genauer gesagt, einer symmetrieangereicherten topologischen Ordnung).

Mein Verständnis der topologischen Ordnung ist, dass sie durch topologische Entartung gekennzeichnet ist, dh entartete Grundzustände, die jeder lokalen Störung widerstehen. Und in dem Artikel 1412.5985 wird argumentiert, dass der topologische 1+1d-Supraleiter eine solche fermionische topologische Ordnung mit Fermion-Parität ist Z 2 F Symmetriebruch. Bisher habe ich etwas über eindimensionale (oder vielleicht quasi-eindimensionale, wie Sie möchten) topologische Supraleiter gelernt. Der erste Fall, in dem wir das Auftreten von Majorana-Nullmoden entdeckt haben, ist ein topologischer Supraleiter der 1d-D-Klasse. Und die Terminologie der D-Klasse wird von einer Klassifikation definiert, die mit der BdG-Symmetrieklasse von Hamiltonian arbeitet. Und D-Klasse bedeutet, dass ein solcher 1d-Supraleiter nur Teilchen-Loch-Symmetrie besitzt (PHS: Ξ 2 = + 1 ), und basierend auf Kitaevs K-Theorie Jobs ist der topologische Invatant Z 2 . In nicht-trivialer topologischer Phase mit topologischer Nummer gekennzeichnet v = − 1 , erscheint ein Majorana-Nullmodus an jedem Ende des topologischen Supraleiters der 1d-D-Klasse. Und nach meinem Verständnis bilden die beiden Majorana-Nullmoden zweifach entartete Grundzustände | 0 ⟩ , | 1 ⟩ mit unterschiedlicher Fermion-Parität, und in einem fermionischen System wie dem Supraleiter hat der Hamilton-Operator eine Fermion-Parität Z 2 F Symmetrie, daher hat die tatsächliche Grundzustandskonfiguration einfach keine solche Symmetrie von Hamilton und bricht sie daher spontan.

Warum aber sollte behauptet werden, dass z Z 2 F Das Brechen führt einfach direkt zum Auftreten einer 1d-fermionischen topologischen Ordnung in diesem 1d-topologischen Supraleiter? (In Bezug auf die ursprünglichen Worte in der Arbeit „zweifache topologische Entartung ist nichts anderes als die zweifache Entartung der Z 2 F Symmetriebruch"). Und Prof. Wen sagte in dieser zuvor gestellten Frage auch, dass diese Art von 1d-fermionischem topologischem Ordnungszustand daher das Ergebnis einer weitreichenden Verschränkung (LRE) ist, also ist die Majorana-Kette tatsächlich LRE und Kitaev hat gerade eine andere verwendet Weg ohne lokale einheitliche Transformationsdefinition (LU), um die topologische Ordnung zu beschreiben.Ich möchte also fragen, wie man eine solche Open-Line-1d-Majorana-Kette als einen weitreichenden Verschränkungsquantenzustand behandeln soll?Und was ist mit der Beschreibung mit der LU-Definition?Wie sollte soll man das demonstrieren?

Und die letzte, aber auch wichtigste Frage, die mich ziemlich verwirrt, ist, dass anscheinend alle 1d-topologischen Supraleiter, unabhängig davon, welche Klasse oder welche Symmetrie sie haben, aufgrund des Auftretens topologischer Entartung einen 1d-fermionischen topologischen Ordnungszustand haben bisher hier als Majorana-Nullmoden betrachtet. Nun, zumindest in der oben erwähnten Arbeit geht es um eine zweifache topologische Entartung. Und im topologischen Supraleiter der 1d-D-Klasse ist er topologisch robust gegenüber welcher Störung? Es hat weder TRS noch überhaupt chirale Symmetrie. Ich weiß nicht, wie ich den brechenden Einfluss von TRS auf diese zweifache Entartung diskutieren soll. Und gut, ich gehe davon aus, dass es tatsächlich robust gegenüber lokalen Störungen ist. Dann betrachten wir einen anderen Fall, den topologischen Supraleiter der 1d-DIII-Klasse mit TRS Θ 2 = − 1 , und gemäß Kramers Theorem hat jedes Ende ein Paar zeitumgekehrter Gegenstücke von Majorana-Nullmoden, dh Majorana-Dublett, das eine vierfache Entartung bildet. Nachdem wir die TRS-brechende Störung eingeführt haben, z. B. das Zeeman-Feld, wird das Majorana-Dublett angehoben und spaltet ein endliches Energieniveau ------- Ich habe die Referenzen PhysRevB.88.214514 sowie PhysRevLett.111.056402 gelesen, und ich weiß nicht, ob ich es richtig verstanden habe oder nicht. In diesen Arbeiten fand ich also Worte, die behaupten, dass eine solche vierfache Entartung TRS-topologisch geschützt ist. Bedeutet dies, dass diese Art von topologischem 1d-Supraleiter tatsächlich keine topologische Entartung mit Majorana-Nullmoden hat, da er Symmetrieschutz benötigt und daher eher zu SPT als zu SET gehören sollte? Wenn ja, bedeutet dies dann, dass nicht alle 1d-topologischen Supraleiter topologische Ordnung sind, sondern nur diejenigen mit zweifacher Entartung zur topologischen Ordnung gehören können? Wenn nicht, wo habe ich mich dann eigentlich geirrt?

Ich würde mich über hilfreiche Kommentare und Antworten freuen. Danke schön.

Antworten (2)

So viele Fragen! Zunächst einmal ist es etwas irreführend, einen Kitaev-Supraleiter als spontan brechend zu bezeichnen Z 2 F . Wenn Sie einen Kitaev-Supraleiter auf ein System ohne Rand (dh periodische Randbedingungen) setzen, gibt es tatsächlich keine Entartung des Grundzustands; der zweifach entartete Grundzustand für offene Randbedingungen sollte man sich eigentlich als Randmoden vorstellen.

Der Grund, warum die Leute das manchmal sagen, ist, dass man eine nicht-lokale Transformation (Jordan-Wigner-Transformation) machen kann, die den Kitaev-Supraleiter mit einer Quanten-Ising-Kette in Beziehung setzt, die spontan bricht Z 2 Symmetrie. Aber der Ordnungsparameter für die Quanten-Ising-Kette lässt sich auf nichts Lokales im Kitaev-Supraleiter abbilden. Aus konzeptioneller Sicht denke ich daher, dass es besser ist, sich die Kitaev-Kette als eine völlig neue topologische Phase vorzustellen und nicht zu versuchen, sie im Sinne einer spontanen Symmetriebrechung zu verstehen.

Wie sehen Sie, dass es sich um einen topologisch geordneten Zustand handelt? Nun, bei offenen Randbedingungen hat es diese topologisch geschützten Randmoden. Es gibt keinen lokalen Term, den Sie dem Hamilton-Operator hinzufügen können, der diese Randmoden ausblendet. Dies hat nicht wirklich etwas mit Symmetrie zu tun; Es ist nur so, dass diese beiden Zustände völlig ununterscheidbar sind, es sei denn, Sie betrachten das gesamte System, sodass keine lokale Wechselwirkung ihnen unterschiedliche Energien zuweisen könnte. Es ist möglich, diese Tatsache in Bezug auf die nicht-lokale Abbildung auf das Quanten-Ising-Modell neu zu interpretieren, aber vielleicht etwas verwirrend.

Um eine Verbindung zu anderen Definitionen der topologischen Ordnung herzustellen, impliziert diese topologisch geschützte Entartung tatsächlich, dass Sie den Hamilton-Operator nicht nahtlos verbinden können H K des Kitaev-Supraleiters zu dem eines trivialen Supraleiters, H T , ohne die Massenlücke zu schließen. Um dies zu sehen, verwenden wir einen wirklich nützlichen mathematischen Trick namens quasi-adiabatische Fortsetzung [1], der Ihnen sagt, ob H K Und H T reibungslos verbunden werden könnten, ohne die Lücke zu schließen, gäbe es eine lokale Einheit U Bezug der Grundzustands-Unterräume von H K Und H T . Aber H K hat eine zweifache Entartung, die nicht durch eine lokale Störung geschlossen werden kann, wohingegen H T ist trivial und daher gibt es eine lokale Störung H was die Entartung aufhebt. Aber dann U H U † ist eine lokale Störung, die die Entartung von aufhebt H K was ein Widerspruch ist.

In Bezug auf Ihre letzte Frage ist der Kitaev-Supraleiter in 1-D (D-Klasse) geschützt, ohne dass eine Symmetrie erforderlich ist. Andererseits erfordert die Klasse DIII Zeitumkehrsymmetrie. Wenn Sie die Symmetrie ignorieren, sieht ein Supraleiter der Klasse DIII tatsächlich aus wie zwei Kopien des Supraleiters von Kitaev, was trivial sein soll (weil die Klasse D einen hat Z 2 Einstufung). Mit anderen Worten, es gibt tatsächlich zwei Majorana-Nullmoden am Rand, was einem regulären komplexen Fermion entspricht und ausgeblendet werden kann. Aber der Term, der die Kante überlappt, ist durch die Zeitumkehrsymmetrie nicht erlaubt. Somit ist der Supraleiter der Klasse D topologisch geordnet, der Supraleiter der Klasse DIII ist nur SPT.

[1] https://arxiv.org/abs/1008.5137

Gute Antwort! In diesem Zusammenhang war ich etwas verwirrt, als Wen die Kitaev-Kette als Beispiel für spontane Symmetriebrechung bezeichnete: Tatsächlich ist eine Möglichkeit, diese Aussage zu interpretieren, wie Sie vorschlagen, eine Behauptung über die Jordan-Wigner-Dual-Spin-Kette. Es scheint mir jedoch, dass Wen wirklich über die fermionische Kette selbst spricht, während ich Ihnen zustimme, dass es in diesem Fall tatsächlich keine spontane Symmetriebrechung gibt (dh der physikalische Grundzustand ist unter fermionischer Parität immer noch symmetrisch).P ). [Fortsetzung]
Beim Versuch, Wens Aussage zu verstehen, vermute ich Folgendes: Durch die Betrachtung von Spinketten setzt Wen spontane Symmetriebrechung mit weitreichender Verschränkung in den (exakten) Energie-Eigenzuständen gleich. Für Spinketten ist dies in der Tat richtig, z. B. wissen wir beim Ising-Modell, dass die (exakten) Grundzustände die der Form sind| dreht hoch ⟩± | dreht runter ⟩ . Das bedeutet, wenn es einen einsamen Spin im Universum gibt, der mit einem Spin unseres Systems gekoppelt ist, dann dekohäriert unser Grundzustand in alle| dreht hoch ⟩ oder| dreht runter ⟩ [Fortsetzung]
dh jeder physikalische Grundzustand wird spontan die Symmetrie gebrochen haben. Allgemein gilt: Für Spinketten impliziert weitreichende Verschränkung eine spontane Symmetriebrechung. Anders bei der Kitaev-Kette: ebenso die Grundzustände|NF ungerade ⟩± |NF sogar ⟩ (mitNF die Anzahl der Fermionen) haben eine langreichweitige Verschränkung, aber dieses Mal kann man keinen lokalen Operator aufschreiben, der diese Überlagerung entkoppeln könnte, und als solche scheint die langreichweitige Verschränkung stabil zu sein und impliziert daher keine spontane Symmetriebrechung. Ich frage mich, ob jemand damit nicht einverstanden ist?
Hallo, danke für deine Antwort, Else, und auch danke für die Kommentare von @Ruben Verresen. Zuerst möchte ich darauf hinweisen, normalerweise, wie wir in Supraleitersystemen wissen, gibt es SSB ausU( 1 ) →Z2 Bei bestimmten Grundzustandskonfigurationen bewahren normale Supraleiter jedoch die Fermion-ParitätZF2 weil Grundzustände nur ein Kondensat von Cooper-Paaren sind und verschiedene Besetzungskonfigurationen der Fermionenzahl möglich sind, ohne die gesamte Fermionenparität zu verändern.
Hier diskutieren wir jedoch auf einem offenen Liniensegment 1d einen spinlosen p-Wellen-Supraleiter (in der experimentellen Realisierung fügt man immer ein starkes Zeeman-Feld hinzu, um vollständig polarisierte Elektronen zu erhalten, und bei einer effektiven Niedrigenergieskala betrachten wir sie als spinlose Elektronen), den Majorana An zwei Enden existieren Nullmoden, die eine zweifache Entartung bilden, weil die vorherigen normalen Grundzustände des Supraleiters zu zwei entarteten Sektoren werden, die sich in ihrer Parität unterscheiden:| GS⟩selbst= | 0⟩F∏N− 1J| 0⟩J ,| GS⟩seltsam= | 1⟩F∏N− 1J| 0⟩J .
Und diese beiden Besetzungskonfigurations-Grundzustände treten tatsächlich manchmal einzeln auf, und es bedeutet viel, mit dem fraktionierten Josephson-Effekt zu experimentieren. Aus diesem Grund argumentiert Xiao-Gang Wen in seinem Artikel, dass der topologische Supraleiter 1d spontan brichtZF2 .
Wenn es um quantenkritisches Transversalfeld-Ising-Modell mit Parametern gehtJ, B → 0 , nach Anwendung der Jordan-Wigner-Transformation, bildet sie genau auf eine nicht-triviale Phase des 1d-p-Wellen-Supraleiters mit Parameter abt = Δ , μ → 0 . Und ein explizites TFIM endlicher Größe besitzt tatsächlich eine Überlagerungs-Kürbis-Zustandskonfiguration12√( | ↑ ↑ ↑ ↑ ⋯ ⟩ ± | ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ ⟩ ) ohne zu brechenZ2 Symmetrie, so auch der 1d-p-Wellen-Supraleiter:ich εγ1γ2 ,ε ∼e− L / ξ .
Allerdings bei GrößeL ausreichend groß ist, dann während des Anfahrens des kritischen PunktesB → 0 , die beiden Konfigurationen| ↑ ↑ ↑ ↑ ⋯⟩ Und| ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯⟩ würde nahezu entartet werden, genau wie die Überlappungsenergie der gebundenen Majorana-Zustände ausreichend klein werden würde und eine nahezu zweifache Entartung bilden würde.
In diesem Fall haben wir SSB eingeschaltetZ2 und alle unsere Diskussionen basieren auf der Kenntnis dieser physikalischen Sinne. Da wir es immer mit endlicher Größe zu tun haben, sind jedoch relativ große Quanten-Vielteilchensysteme in der realen Welt. (Man kann sich auf eine verwandte Frage beziehen . physical.stackexchange.com/questions/29311/… )
Und genau wie zwei Up- und Down-Spin-Konfigurationen beziehen sich die Grundzustände auf eine Spin-Flipping-Domänenwand (Flip-by-OperatorσX ) sind die topologische triviale und nicht triviale Phase des 1d-p-Wellen-Supraleiters auch mit Domänenwänden verbunden, die als Majorana-gebundene Zustände (oder -Nullmoden) erscheinen.
Ich denke jedoch, dass diese Dinge wenig mit meinen Rätseln zu tun haben. Was mich tatsächlich stört, ist, warum der 1d-P-Wellen-Supraleiter oder die Kitaev-Majorana-Kette, dh der 1d-Supraleiter der D-Klasse, als 1d-fermionische topologische Ordnung kaskadiert werden kann. Ein Aspekt, der von Leuten argumentiert wird, ist, dass die topologisch geschützte Entartung auftaucht. Ich würde jedoch wirklich gerne wissen, wie diese Art von Quantenzustand aus der Mjorana-Kette als weitreichender Verschränkungs-Quantenzustand angesehen und demonstriert werden kann.
Und auf der anderen Seite argumentiert Prof. Xiao-Gang Wen, dass die Symmetriebrechung nicht im Widerspruch zur topologischen Ordnung steht. Ein Quantensystem kann also sowohl SSB als auch topologische Ordnung haben (dieses Argument findet sich in seiner Arbeit zur topologischen Ordnung journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.82.155138 ). Für den fermionischen 1+1d-Fall wird behauptet, es sei ein topologischer Supraleiter. Es scheint mir also, dass alle topologischen Supraleiter in 1d in einen topologischen geordneten Zustand übergehen. Das führt zu meiner letzten Frage.
@TomGao Natürlich ist die Frage, ob die Kitaev-Kette SSB ist, eine Art Semantik. Persönlich würde ich niemals sagen, dass ein System SSB aufweist, es sei denn, es gibt einen lokalen Ordnungsparameter, den die Kitaev-Kette nicht hat.
Aber warum der Klasse-D-Supraleiter "langreichweitig verschränkt" ist, wenn Sie Wen folgen und "langreichweitig verschränkt" so definieren, dass es "nicht durch eine lokale Einheit mit dem trivialen Zustand verbunden werden kann", dann zeigt das Argument, das ich oben gegeben habe dass dies tatsächlich für die Kitaev-Kette gilt. Oder hatten Sie eine andere Definition im Sinn? Und wie das Beispiel der Klasse DIII zeigt, ist es sicherlich nicht wahr, dass alle topologischen Supraleiter "topologisch geordnet" sind.
@Dominic Else Ich verstehe, was du meinst, wenn du sagst, dass ohne einen lokalen Bestellparameter nicht über SSB gesprochen wird. Ich denke, was Sie behaupten möchten, ist die Landau-Symmetriebrechungsphase, die für SSB verantwortlich ist und immer einen lokalen Parameter auferlegt. Diesem Standpunkt würde ich voll und ganz zustimmen. Im topologischen geordneten Zustand beweist die Arbeit von Prof. Wen jedoch, dass SSB auch mit topologischer Ordnung angetroffen werden kann. Ich sollte sagen, dass es um die Bedeutung von SSB geht. Aus meiner Sicht ist SSB nur eine Art von Symmetriebrechungsverhalten, das selbst keine Phase oder kein geordneter Zustand ist.
Was den Aspekt angeht, den Sie zur topologischen Ordnung erwähnt haben, stimme ich Ihnen zu, und ich habe überhaupt keine andere Definition im Sinn. Wie Sie sagten, sind diese degenerierten Grundzustände (Majorana-Nullmoden) in der Kitaev-Kette nicht lokal und können nicht durch eine lokal-einheitliche Transformation auf einen trivialen Supraleiter-Grundzustand abgebildet werden. Okay, ich denke, diese Antwort löst eine meiner Fragen. Danke :)

Die Schlüsselfrage hier ist, wie die 1 + 1D-fermionische topologische Ordnung definiert / beschrieben werden kann (dh nur mit Fermion-Zahlen-Paritätssymmetrie). Z 2 F ) für interagierendes System? Kitaevs Ansatz gilt nicht, da dies nur für nicht interagierende Systeme gilt. Mit anderen Worten, wir fragen gerne: " Woher wissen wir angesichts eines Grundzustands eines stark wechselwirkenden 1 + 1D-Fermionsystems, dass es topologisch geordnet oder trivial geordnet ist?"

Es gibt viele Diskussionen über Majorana-Ketten und topologische Supraleiter, aber viele davon beziehen sich nur auf nicht wechselwirkende Systeme. Die Schlüsselfrage hier ist, wie diese Konzepte für stark wechselwirkende Fermionensysteme definiert/beschrieben werden können.

Viele der Beschreibungen in der Frage basieren auf dem Bild von nicht wechselwirkenden Fermionen, während unser 1D-Kettenpapier für stark wechselwirkende Fermionensysteme gilt. Die Verwendung des Bildes von nicht-wechselwirkenden Fermionen zur Betrachtung unseres 1D-Kettenpapiers kann zu großer Verwirrung führen. Beachten Sie, dass es in stark wechselwirkenden Fermionensystemen nicht einmal Einzelteilchenenergieniveaus gibt und dass es in stark wechselwirkenden Fermionensystemen keine Majorana- Nullmoden gibt . Wie verstehen wir in diesem Fall den topologischen 1D-Supraleiter?

Vor diesem Hintergrund versuchen wir, in unserem 1D-Kettenpapier darauf hinzuweisen:

1) stark wechselwirkende Fermionenkette, die nur hat Z 2 F Symmetrie kann einen Lückenzustand haben, der dem spontanen Symmetriebrechungszustand von entspricht Z 2 F .

2) Solch ein symmetriebrechender Zustand ist der 1+1D fermionische topologisch geordnete Zustand (dh befindet sich in derselben Phase wie ein topologischer 1D p-Wellen-Supraleiter).

Mit anderen Worten, der topologisch geordnete 1+1D-fermionische Zustand auf einer Kette kann formal als SSB-Zustand angesehen werden Z 2 F (nachdem wir das Fermion mit der Jordan-Wigner-Transformation bosonisiert haben). Im Gegensatz zu vielen anderen Bildern funktioniert dieses Bild für interagierende Systeme.

Auch die topologische Ordnung wird als die äquivalente Klasse von lokalen einheitlichen Transformationen definiert. Es ist falsch zu sagen, dass topologische Ordnung durch topologische Entartung gekennzeichnet ist, da es topologische Ordnungen (dh invertierbare topologische Ordnungen) gibt, die nicht durch topologische Entartung gekennzeichnet sind.

Lieber Prof. Wen, warum sagen Sie, dass es in einem stark wechselwirkenden System keine Majorana-Nullmoden gibt? Ich glaube, selbst im Fall starker Wechselwirkung gibt es immer noch einen Operator, der die nahe der Grenze lokalisierte Majorana-Algebra erfüllt und mit dem Grundzustandsprojektor pendelt, nicht wahr?
Der Majorana-Nullmodus ist ein Energieniveau eines einzelnen Teilchens bei Nullenergie in einem Supraleiter. Ein solches Konzept gilt nur für nicht wechselwirkende Fermionen. Für stark wechselwirkende Fermionen ist das entsprechende Konzept topologische Entartung. Es gibt immer Operatoren, die die entarteten Zustände verbinden. Es gibt topologische Entartungen, die nicht dem Majorana-Nullmodus in wechselwirkenden Systemen entsprechen.
Vielen Dank Prof. Wen für diese ausführliche Antwort und eine weitere kurze Frage unten.
Wenn ich Ihre Klärung einer früheren Frage zu (1 + 1) D TSC als symmetrieangereicherte topologische geordnete Phase und die hier vergleiche, könnte ich es so ausdrücken: Die Kiteav-Kette ist durch eine Nicht-LU-Transformation gekennzeichnet, die eine topologische zweifache Entartung aufweist , die nicht-abelsche Anyonen sind, und daher handelt es sich um einen topologischen Ordnungszustand in einem (1 + 1) D nicht wechselwirkenden Fermionensystem. Nachdem jedoch eine gewisse Symetrie angelegt wurde, wie die von mir erwähnte DIII-TSC, kann sie als SET-Zustand in (1 + 1) D angesehen werden, da man weiß, dass sie sich in zwei Kopien von zerlegt, wenn wir die TR-Symmetrie brechen Kiteav-Ketten.
1+1d TSC als Zf2Z2fZ_2^f symmetriebrechende topologische Ordnung?
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