Eine Spurweitengruppe durch einen Monopol brechen ...

Schauen Sie sich zunächst die Papiere https://arxiv.org/abs/1602.04251 und https://arxiv.org/abs/1605.02391 an, in denen die Autoren (Seiberg und Witten) eine sorgfältigere Analyse der Eigenschaften des Monopols haben Operatoren, was in dem von Ihnen zitierten Artikel äußerst nützlich ist.

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1&3. Kurze Antwort, ja. Aber lassen Sie mich ein wenig klarstellen (überspringen Sie es einfach, wenn Sie es bereits wissen). Bei 3+1$D$ $U(1)$Abelsche Eichtheorie haben wir normalerweise die Bianchi-Identität

$$\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0.$$ Aber wenn wir eine Dirac-Singularität im Raum zulassen (sagen wir at $\textbf{x}=0$den Ursprung), können wir folgendes haben $$\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{2\pi}{e}\delta^3(\textbf{x}),$$ deren Quantisierung kommt von der Einwertigkeit der Elektronenwellenfunktion (oder in mathematischerer Terminologie von der Konsistenz des Eichbündels). Um die obigen Ergebnisse auf die nicht-abelsche Eichtheorie zu verallgemeinern, wollen wir die nicht-abelsche Bianchi-Identität untersuchen $$D_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0$$ die gewöhnliches Derivat ersetzt $\partial_\mu$mit kovarianter Ableitung $D_\mu$und enthält ein Stück wie $[A,F]$. Um die obige Konstruktion nachzuahmen, muss die magnetische Ladung miteinander kommutieren, so dass der Beitrag von $[A,F]$verschwindet, und die Ladungen können so gewählt werden, dass sie im Gewichtsgitter liegen (wie in der Originalarbeit von GNO gezeigt). Daher ist das GNO-Monopol im Wesentlichen abelsch.

Nach dem Einfügen eines Monopoloperators in die Theorie überlebt nur das Gruppenelement, das mit der Monopolladung pendelt, was in diesem Fall erklärt, warum die verbleibende Eichgruppe so ist$O(2)\times O(N-2)/\mathbb{Z}_2$. Hier das$\mathbb{Z}_2$ergibt sich aus der Einschränkung, dass die Determinante der neuen Eichgruppe, also Determinante von$O(2)$Teil multipliziert mit der Determinante von$O(N-2)$Teil, sollte immer noch gleich 1 sein.

2. Dies ist einfach ein Argument der Repräsentationstheorie. Die Fermionen liegen in der symmetrischen Darstellung vor$SO(N)$. Jetzt wird die Gauge-Gruppe aufgeschlüsselt$O(2)\times O(N-2)/\mathbb{Z}_2$. Wir müssen also analysieren, wie sich die Fermionen in der neuen Darstellung umwandeln. Neben dem Argument der formalen Repräsentationstheorie ist ein heuristisches Argument das Folgende.

Stellen Sie sich die Fermionen als Elemente in einigen vor$N\times N$symmetrische spurlose Matrix$A$, was hat$\frac{1}{2}(N^2+N) - 1$Elemente. Die Aktion von$SO(N)$Elemente$U$auf der Matrix ist$A\rightarrow U^\text{T}AU$. Denken Sie an die obere linke Seite$(N-2)\times(N-2)$Block aus$U$als Untergruppe$O(N-2)$und unten rechts$2\times 2$Block als Untergruppe$O(2)$. Es ist leicht zu sehen, dass die entsprechenden oben links$(N-2)\times(N-2)$Block aus$A$in die symmetrische (aber nicht spurlose) Darstellung transformieren$O(N-2)$und verwandelt sich nicht unter$O(2)$. Diese$\frac{1}{2}(N^2-3N+2)$Fermionen sind neutral. Ebenso Die untere rechte$2\times 2$Block aus$A$(mit Ausnahme des Trace-Teils, den wir in den oberen linken Block aufnehmen und nicht darunter transformieren$O(2)$) transformieren in die symmetrische spurlose Darstellung von$O(2)$(dh Spin 2-Darstellung), aber nicht unter transformieren$O(N-2)$. Schließlich sollte der Rest beide in die Vektordarstellung umwandeln$O(N-2)$Und$O(2)$. Diese Art der Analyse kann leicht auf die antisymmetrische Darstellung verallgemeinert werden, ebenso wie das Argument der formalen Darstellungstheorie, das in jedem Standard-Lehrbuch zur Gruppentheorie zu finden ist.