Was läuft schief, wenn wir einen Massenterm für Eichbosonen ohne den Higgs-Mechanismus hinzufügen?

Frage: Warum können wir keinen Massenterm für die Eichbosonen einer nicht-abelschen Eichtheorie hinzufügen?

In einer abelschen Eichtheorie kann man frei eine Masse hinzufügen, und während dies die Eichinvarianz bricht, funktioniert alles gut, solange der Kopplungsstrom erhalten bleibt ( dh die skalaren Modi entkoppeln und die Theorie ist renormierbar).

In nicht-abelschen Eichtheorien wird oft behauptet, dass der einzige Weg, einen Massenterm einzuführen, der Higgs-Mechanismus ist. Wenn wir einen Massenterm hinzufügen, ohne das Higgs-Feld einzuführen, aber der Kopplungsstrom immer noch erhalten bleibt, an welchem ​​Punkt würde die Theorie zusammenbrechen? Es scheint mir, dass die skalaren Moden zumindest bis zur Baumebene ebenfalls entkoppeln. Ich habe es versäumt, die Berechnung auf eine Schleifenreihenfolge zu bringen, also bricht die Theorie hier vielleicht zusammen. Ist dies die unmittelbarste Problemquelle, oder gibt es eine einfachere Observable, die nicht eichinvariant ist?

Man hört oft, dass die Theorie nicht mehr renormierbar ist, wenn wir die Eichinvarianz brechen. Ich bin vielleicht zu naiv, aber es scheint mir, dass ein (eichfestes) massives Eichboson ein hat Ö ( P − 2 ) Propagator und daher (solange der Strom in den Ecken erhalten bleibt) die Theorie (Potenzzählung) renormierbar ist. Oder ist es?

Um die Dinge fokussiert zu halten, stellen wir uns vor, wir wollten Gluonen Masse geben, während wir die Selbstwechselwirkungen und die Kopplung mit Materie (und Geistern) unverändert lassen. Könnte das ohne Higgs funktionieren?

Es gibt viele Beiträge darüber, die ähnliche Dinge fragen. Zum Beispiel,

Nichts geht schief, nur die Theorie wird stark angekoppelt 4 π M v / G Wo M v ist die Masse und G die Messkupplung. Dies ist einfach zu sehen, weil die Längspolarisation mit der Energie wächst. Tatsächlich kann man dies durch eine Eich-Neudefinition deutlich machen, indem man die gefressenen Goldstone-Bosonen wieder einführt. In der Praxis ist der Higgs-Mechanismus ohnehin vorhanden, das Higgs-Teilchen könnte fehlen. Die Theorie hat einen Grenzwert, der höchstens ist 4 π v , Wo v = M v / G ist das vev, wie für jede Theorie von Goldstone-Bosonen, die abgeleitet gekoppelt sind. Die einfachste UV-Vervollständigung fügt h hinzu.
@TwoBs danke für den Kommentar. Was Sie beschreiben, gilt nicht wirklich für eine abelsche Eichtheorie: Die Längspolarisationen würden wachsen, aber tatsächlich heben sie sich auf (aufgrund der Stromerhaltung), und daher wachsen die S-Matrixelemente nicht mit Energie (massives QED ist UV-endlich und perturbativ einheitlich). Dies scheint jedoch für nicht-abelsche Eichtheorien zu scheitern. Warum unterscheidet sich eine nicht-abelische Eichtheorie von einer abelschen? Liegt es daran, dass sich die Längspolarisationen im Gegensatz zu QED nicht aufheben (selbst wenn der Strom erhalten bleibt)?
Es ist sehr einfach zu verstehen: Für den abelschen Fall führt die Masse nur zu einem freien kinetischen Term für die Goldstone-Bosonen, während sie für den nicht-abelschen Fall zu einer nicht trivialen abgeleiteten gekoppelten Wechselwirkung führt. Der Grund liegt in der Nebenklassenstruktur von U ( 1 ) → 0 ein Kreis ist, der eindimensional ist und daher keine nicht-triviale Riemann-Krümmung gibt, während für nicht-abelsche Nebenklassen, z S U ( 2 ) → U ( 1 ) , sie haben nicht trivial Riemann (es ist eine Kugel oben). Die Längspolarisationen, also die Goldstones, koppeln mit den von Riemann angegebenen Koeffizienten.
@TwoBs schön, danke! (Es wäre nett von Ihnen, eines Tages eine Antwort zu posten, wann immer Sie Zeit haben :-) )
Ich werde versuchen, eine tatsächliche Antwort zu posten, es ist nur schwer, die Zeit zu finden, eine zu schreiben, die gleichzeitig nett, kurz und genau ist.
@TwoBs cool. Es gibt keine Eile, es ist zum Selbstlernen. Ich kann warten :-)
Noch etwas: Der abelsche Fall ist trivial, weil Sie den Vektor an einen erhaltenen Strom gekoppelt haben, aber für einen massiven Strom sind Sie dazu nicht gezwungen. Wenn Sie das massive Photon an einen nicht erhaltenen Strom oder an sich selbst koppeln (z. B. ein Viertel hinzufügen ( A μ A μ ) 2 ), dann würden sogar die GBs dieses abelschen Falls interagieren und bei einer hohen Energie stark gekoppelt werden, da dies nicht nur dem kinetischen Term entsprechen würde ( ∂ ϕ ) 2 aber auch höhere Mächte ( ∂ ϕ ) 4 und andere Begriffe zu den Materiefeldern. Für die nicht-abelschen Felder ist der Strom nur covar. konserviert

Antworten (1)

Was für eine tolle Frage OP! Ich habe gute und schlechte Nachrichten. Die gute Nachricht ist, dass genau diese Frage in Quantum Field Theory von Itzykson & Zuber, Abschnitt 12-5-2, gestellt und beantwortet wird. Die schlechte Nachricht ist, dass die Antwort lautet

Führt man Massenterme in nicht-abelschen Eichtheorien von Hand ein, ist die Theorie nicht renormierbar.

Dies bedeutet, dass man gezwungen ist, den Higgs-Mechanismus (oder Variationen davon, wie z. B. den Stückelberg-Mechanismus) einzuführen, der für einige Leute ziemlich unelegant ist (und mit Problemen der Natürlichkeit usw. geplagt ist). Na ja, so zerbröckelt der Keks.

Lassen Sie mich den ersten Absatz des vorgenannten Abschnitts zitieren, um den Hauptpunkt des Problems zusammenzufassen:

Ist eine Eichtheorie, in der Massenterme von Hand eingeführt werden, renormierbar?

In der Elektrodynamik ist die Situation günstig. Nach Trennung des Spurweitefeldes in Quer- und Längskomponente der Längsteil k μ k v / M 2 was zu dem schlechten Verhalten im Vermehrer führt, trägt nicht dazu bei S Matrix. Dies resultiert aus der Nichtinteraktion von Längs- und Querkomponenten und aus der Kopplung des Feldes an einen Erhaltungsstrom. In einer nichtabelschen Theorie ist keine dieser Eigenschaften erfüllt. Längs- und Querteile interagieren, während der Strom, an den das Eichfeld gekoppelt ist, nicht erhalten bleibt. Andererseits lassen unerwartete Aufhebungen von Divergenzen auf der Ebene einer Schleife die Theorie wie renormierbar aussehen. Dies erklärt, warum es einige Zeit gedauert hat, einen Konsens zu erzielen, nämlich dass die Theorie nicht renormierbar ist. Der Ausweg aus dieser unangenehmen Situation besteht darin, an den Mechanismus der spontanen Symmetriebrechung zu appellieren, der im nächsten Unterabschnitt erklärt wird.

Was läuft schief, wenn wir einen Massenterm für Eichbosonen ohne den Higgs-Mechanismus hinzufügen?
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