Ist der Higgs-Mechanismus eine Eichtransformation oder nicht? ( U(1)U(1)U(1) Kontext )

Nein, du hast es richtig verstanden. Sie eichen-transformiert auf die sogenannte Einheitseichung , wo die 2-Teilchen des komplexen φ- Dubletts sich nun gerade auf eine reelle Komponente ρ davon reduziert haben, während die Phasenkomponente zu einer Komponente des Eichfelds mutiert ist

Sie befinden sich jetzt in einem bestimmten Messgerät: Wenn Sie zu einem anderen Messgerät wechseln würden, würden Sie diese Freiheitsgrade nicht so einfach sehen , aber natürlich wären die Ergebnisse für (messgerätinvariante) Amplituden, die Sie berechnen würden, identisch.

Das ist der Punkt: Eichinvarianz ermöglicht den Übergang zu einem Eich, bei dem der physikalische Inhalt der Theorie transparenter ist.

Nur um die Antwort von Cosmas zu ergänzen. Ich glaube , die Leute verwechseln die Umformung der Messgeräte mit der Fixierung der Messgeräte . Was wir hier tun, ist eine Festsetzung des Messgeräts, was bedeutet, dass wir die Felder von einer willkürlichen Auswahl einschränken$(\phi\in\mathbb{C}, A_\mu)$zu einer spurfesten Wahl$(\phi_0\in\mathbb{R}, A_\mu)$. Der Punkt dabei ist, dass wir Redundanz aufgrund der Eichsymmetrie entfernen, in dem Sinne, dass jeder Punkt$(\phi\in\mathbb{C}, A_\mu)$kann genau einmal erreicht werden, indem eine Eichtransformation auf dem eingeschränkten (eichfesten) Feldraum durchgeführt wird. Nehmen wir genauer an, wir wollen den Punkt erreichen$(\phi_0 e^{i\xi}, A_\mu)$(Wo$\phi_0\in\mathbb{R}$), sollten wir vom Pegelfestpunkt aus starten$(\phi_0, A_\mu+\frac{1}{q}\partial_\mu\xi)$Führen Sie dann die Eichtransformation mit dem Transformationsparameter durch$\theta=\xi$(nach Konvention von @karky). Zusammenfassend, wenn das Goldstone-Boson eliminiert wird$\xi$Im abelschen Higgs-Modell ist das, was wir tun, eine Eichfixierung, NICHT eine Eichtransformation. Jede Eichtransformation lässt die Lagrange-Invariante, so dass es keine Hoffnung gibt, dass das Feld$\xi$eliminiert werden können.

Lassen Sie uns ein bisschen mehr Notation einführen, weil ich glaube, Sie verwechseln sich mit dem$\to$Notation:

Lassen$\theta : \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$irgendeine Funktion sein. Dann werden die Felder transformiert

Eichinvarianz bedeutet das$S[\phi,A] = S[\phi^\theta,A^\theta]$, dh die Aktion ändert sich nicht unter einer Eichtransformation, und in diesem Fall bedeutet es auch$L[\phi,A] = L[\phi^\theta,A^\theta]$. ¹ Dies gilt für diesen Lagrange-Operator auf abstrakter Ebene.

Jetzt wissen Sie , dass Sie schreiben können$\phi = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\xi}\phi_0$, und Sie möchten die Lagrange-Funktion rein in Bezug auf ausdrücken$\phi_0$ohne die zu haben$\xi$da drin. Dies wird durch Fixierung der Lehre erreicht$\theta = -\xi$, seit$\phi^{-\xi} = \phi_0$. Da die Theorie eichinvariant ist, haben Sie$L[\phi,A] = L[\phi^{-\xi},A^{-\xi}]$.

Ihr Hauptproblem scheint zu sein, dass das lhs immer noch zu enthalten scheint$\xi$weil das$A^{-\xi}$enthält$\xi$. Das ist in der Tat ein Problem, das behoben werden muss. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten, ich gebe vorerst nur die kurze an, die leider voraussetzt$\xi$unendlich klein sein:

Beachte das für infinitesimal$\xi$Und$\rho$,$\phi = \phi_0 + \mathrm{i}v\xi$. Berechnen Sie nun die Lagrange-Funktion$L[\phi_0+\mathrm{i}v\xi,A]$und beobachten Sie, dass Sie einen Term erhalten, der wie ^{2 aussieht} $\frac{1}{2}e^2v^2(A - \frac{1}{q}\mathrm{d}\xi)^2$. Also einstecken$A^{-\xi}$tatsächlich tötet die$\xi$auch in den Bedingungen mit$A$, da dies den Begriff in der Klammer in umwandelt$A^2$ohne irgendetwas$\xi$.

^{1 Im Allgemeinen kann sich die Lagrange-Funktion um eine totale Ableitung ändern}

^{2>/sup>„Sieht aus wie“, weil es mehrere unterschiedliche Konventionen dafür gibt, wie genau die Spurtransformation und die Erweiterung um das VEV herum aussehen, und ich bin nicht geneigt, zu verfolgen, welche hier verwendet wird.}