Georgi-Glashow-Modell und das VEV des Skalarfelds

Das Skalarpotential Ihrer Theorie ist

$$V(\phi) = \lambda (\phi^a \phi^a - v^2)^2,$$ wo ich vermute, dass Sie den Platz nehmen wollten, wie ich hier geschrieben habe. Dieses Potenzial wird minimiert, wenn $\sqrt{\phi^a \phi^a} = v$. Denk an $\phi=\frac{1}{2} \phi^a \sigma^a$als Vektor mit Komponenten $\phi^a$in einem 3-dimensionalen Vektorraum mit Basisvektoren $\sigma_a/2$. Die gleichung $\sqrt{\phi^a \phi^a}=v$sagt, dass die Norm dieses Vektors ist $v$an den Minima des Potentials. Der minimale Ort des Potentials ist daher eine 2-Radius-Kugel $v$in diesem 3D-Raum, bestehend aus Vektoren, deren Norm festgelegt ist $v$.

Wählen Sie zum Beispiel zufällig eine dieser minimalen Feldkonfigurationen aus$\phi_0=\frac{1}{2} v \sigma^3$(der "Nordpol" der 2-Sphäre, wenn Sie so wollen). Überlegen Sie, wie sich eine Eichtransformation auf diese Feldkonfiguration auswirkt. Da die Skalartransformationen in der adjungierten Darstellung der Eichgruppe eine Eichtransformation ist$e^{iT} \in \mathrm{SU}(2)$wirkt auf$\phi_0$als$\phi_0 \mapsto e^{i T} \phi_0 e^{-iT}$, oder, infinitesimal,$\delta \phi_0 = i [T,\phi_0]$. Hier,$T = \frac{1}{2} T^a \sigma^a$ist ein beliebiges Element von$\mathrm{su}(2)$, die Lie-Algebra von$\mathrm{SU}(2)$. Unsere Feldkonfiguration$\phi_0 = \frac{1}{2} v \sigma^3$ist daher unter dieser Eichtransformation wann invariant$T \propto \sigma_3$, während$\phi_0$ist nicht invariant, wenn$T$hat Unterstützung dabei$\sigma^1$oder$\sigma^2$. Wir finden, dass ein einzelner Generator von$\mathrm{su(2)}$(was eine erzeugt$\mathrm{U(1)}$Untergruppe von$\mathrm{SU(2)}$) Blätter$\phi_0$invariant, während die anderen beiden Generatoren nicht trivial wirken.

In einer solchen Situation sagen wir das$\mathrm{SU(2)}$Eichsymmetrie wurde zu a Higgsed$\mathrm{U(1)}$Untergruppe. Um das Feldspektrum in der Higgsed-Theorie zu bestimmen, führen Sie eine Feldneudefinition durch$\phi' = \phi- \phi_0$, so dass das Potential nun für minimiert wird$\phi' = 0$. Wenn Sie ersetzen$\phi$von$\phi'+\phi_0$in Ihrem Lagrange und erweitern Sie es, Sie werden feststellen, dass die Messgerätefelder$A_1$Und$A_2$sind massiv geworden (in einheitlicher Spurweite), während$A_3$bleibt masselos. Durch einfaches Austauschen können Sie die Eichfeldmassen sofort ermitteln$\phi$von$\phi_0$im skalaren kinetischen Term$(D_\mu \phi^a) (D^\mu \phi^a)$:

$$\begin{align}(D_\mu \phi_0^a)(D^\mu \phi_0^a) =& (g \epsilon^{abc} A_\mu^b v \delta^{c,3})(g \epsilon^{ade} A_\mu^d v \delta^{e,3})\\ =& g^2 v^2 \epsilon^{ab3} \epsilon^{ad3} A_\mu^b A_\mu^d\\ =&g^2 v^2 (A_\mu^1 A_\mu^1+A_\mu^2A_\mu^2). \end{align}$$ Daher, $A_1$Und $A_2$haben jeweils eine Masse an Ordnung erworben $gv$. Sie werden oft gegen die „komplexen Spurweiten“ gehandelt $W_\pm = A_1 \pm i A_2$denn es ist $W_\pm$die in kubischen Wechselwirkungen mit Materie auftritt. Die explizite Erweiterung der Lagrange-Funktion überlasse ich Ihnen.

Das sollte deine ersten beiden Fragen klären. Ihre dritte Frage fragt, was passiert, wenn Sie den Skalar nehmen, um in einer anderen Darstellung zu leben. Die Analyse geht in gleicher Weise vor, also fasse ich das Vorgehen für eine beliebige Eichgruppe und Darstellung zusammen. Man beginnt mit einem Skalarpotential$V(\phi)$und bestimmt die Feldkonfigurationen, die es minimieren,$\mathcal{M}_0 = \left \{\phi_0: V'(\phi_0) = 0, V''(\phi_0) > 0 \right\}$. Angenommen, die Wirkung ist unter einer Symmetriegruppe unveränderlich$G$, und das$\phi$gehört zu einer linearen Darstellung$R$von$G$. Mit anderen Worten,$\phi$verwandelt sich als$\phi \mapsto R(g) \phi$, Wo$R(g)$ist die Matrixdarstellung von$g$. Für eine infinitesimale Transformation (when$G$ist kontinuierlich),$\delta \phi = i T \phi$, Wo$R(g)=e^{iT}$.

Da die Aktion unter unveränderlich ist$G$,$V(\phi_0) = V(R(g) \phi_0)$für alle$g \in G$. Daher$G$Karten$\mathcal{M}_0$zu sich selbst.$R(g)$muss nicht gehen$\phi_0$jedoch unveränderlich. Im Allgemeinen nur eine Untergruppe$H \subset G$wird verlassen$\phi_0$unveränderlich. Das heißt, unter der Liste der Generatoren$\{T_a\}$von$G$, wird eine Teilmenge (die "ununterbrochenen" Generatoren) verlassen$\phi_0$unveränderlich,$\delta \phi_0 = i T_a \phi = 0$, während der Rest nicht (die "kaputten" Generatoren). Die ununterbrochenen Erzeuger erzeugen die Untergruppe$H$, während die defekten Generatoren der Nebenklasse entsprechen$G/H$.

Wenn$G$eine globale Symmetrie ist, sagen wir, dass sie spontan in die Untergruppe gebrochen wurde$H$. Wenn$G$eine Eichsymmetrie ist, sagen wir, dass sie gehiggt wurde$H$. Die Pegelfelder entlang der Generatoren von$H$bleiben masselos, während die Messgerätefelder entlang der kaputten Generatoren massiv werden (wieder in einheitlichem Messgerät).

Um sicherzustellen, dass Sie dieses Verfahren verstehen, sollten Sie diese Analyselinie für verschiedene andere Beispiele durchführen. Ich habe Ihnen gezeigt, wie die Analyse für ein geht$\mathrm{SU(2)}$Eichtheorie Higgsed durch einen Adjoint. Sie können sich andere Beispiele für Eichgruppen und Darstellungen einfallen lassen und die Details ausarbeiten oder die vielen Beispiele studieren, die in den vielen Büchern zur Feldtheorie vorgestellt werden.

Das Georgi-Glashow-Modell bezieht sich übrigens auf eine$\mathrm{SU(5)}$Eichtheorie, keine$\mathrm{SU(2)}$Eichtheorie.