Spontaner Symmetriebruch in den Subraum, der keine masselosen Bosonen gibt

Question

Spontaner Symmetriebruch in den Subraum, der keine masselosen Bosonen gibt

Physik
Symmetrie
Eichtheorie
Eichinvarianz
Symmetriebruch
Quantenfeldtheorie

JeffDror

Ich versuche gerade, spontan gebrochene Symmetrien im Allgemeinen zu verstehen und bin auf ein seltsames Ergebnis gestoßen, das nicht meinem Wissen über gebrochene Eichsymmetrien zu entsprechen scheint.

Angenommen, wir beginnen mit einer SU(2)-Invariantentheorie mit einem doppelten Higgs,

ϕ = (\begin{matrix} ϕ_{1} \\ ϕ_{2} \end{matrix})

$\begin{equation} \phi = \left( \begin{array}{c} \phi _1 \\ \phi _2 \end{array} \right) \end{equation}$ und erkunden Sie die möglichen Bruchmuster. Wir zerlegen nun SU(2) in eine Untergruppe, vermutlich U(1). Dazu würde ich gerne eine Kombination der Generatoren finden, die das Vakuum vernichten,

a_{A} \frac{σ_{A}}{2} (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = 0

$\begin{equation} \alpha_a \frac{ \sigma _a }{ 2} \left( \begin{array}{c} v _1 \\ v _2 \end{array} \right) = 0 \end{equation}$ Wo

v_{i}

$v _i$ sind die VEVs von

ϕ_{i}

$\phi _i$ . Um eine nichttriviale Lösung für die obige Gleichung zu haben, müssen wir haben,

det (α_{a} σ_{a}) = 0

$\det ( \alpha _a \sigma _a ) = 0$ . Eine solche Lösung ist

α = {(\begin{array}{ccc} 1 & - i & 0 \end{array})}^{T}

$\alpha = \left( \begin{array}{ccc}1 & -i & 0\end{array} \right)^T$ . Dadurch wird das Vakuum vernichtet,

{(\begin{array}{cc} 0 & v \end{array})}^{T}

$\left( \begin{array}{cc}0 & v\end{array} \right) ^T$ seit,

\frac{1}{2} (σ_{X} - ich σ_{j}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

$\begin{equation} \frac{1}{2} ( \sigma _x - i \sigma _y ) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = 0 \end{equation}$

So weit, ist es gut. Wenn ich jedoch gehe und die Massen der Eichbosonen in dieser Theorie finde, finde ich, dass sie alle massiv sind:

\begin{aligned} D_{μ} ϕ^{†} D^{μ} ϕ & \to G^{2} v^{2} W_{A, μ} (\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}) (σ_{A} σ_{B}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) W_{B}^{μ} \\ = G^{2} v^{2} W_{A, μ} W_{A}^{μ} \end{aligned}

$\begin{align} D _\mu \phi ^\dagger D ^\mu \phi & \rightarrow g ^2 v ^2 W _{ a ,\mu } \left( \begin{array}{cc}0 & 1\end{array} \right) \left( \sigma _a \sigma _b \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) W ^\mu _b \\ & = g ^2 v ^2 W _{a, \mu } W _a ^\mu \end{align}$ wo wir verwendet haben,

σ_{a} σ_{b} = i ϵ_{a b c} σ_{c} + δ_{a b}

$\sigma _a \sigma _b = i \epsilon _{ a b c} \sigma _c + \delta _{ ab }$ .

Da wir das Vakuum mit einer Kombination von Generatoren transformieren können und die Theorie unverändert lassen, erwartete ich auch masselose Eichbosonen. Warum sind keine der Eichbosonen masselos?

Hinweis: Im Standardmodell ist dies kein Problem, da wir dort die Massenbasis nach Spontanbruch nicht erhalten. Dann verwenden wir den Weinberg-Winkel, um zwischen den Basen zu rotieren.

ZweiBs

Es sollten nur hermitesche Operatoren betrachtet werden, die das Vakuum vernichten, also Linearkombinationen mit reellen Koeffizienten der hermiteschen Generatoren. Der Grund dafür ist, dass Ihre Gruppe durch echte Parameter generiert wird. Ihr Beispiel beinhaltet stattdessen eine imaginäre Linearkombination.

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Spontaner Symmetriebruch in den Subraum, der keine masselosen Bosonen gibt

Es sollten nur hermitesche Operatoren betrachtet werden, die das Vakuum vernichten, also Linearkombinationen mit reellen Koeffizienten der hermiteschen Generatoren. Der Grund dafür ist, dass Ihre Gruppe durch echte Parameter generiert wird. Ihr Beispiel beinhaltet stattdessen eine imaginäre Linearkombination.

ZweiBs · Answer 1

Es gibt keinen Widerspruch, da Sie keine komplexe lineare Kombination von Generatoren durchführen sollten, die bereits hermitesch sind (tatsächlich möchten Sie, dass die Gruppentransformation einheitlich ist). Daher ist Ihre Linearkombination mit einem komplexen Koeffizienten (der Sie von der entfernt $SU(2)$ Gruppe) impliziert keine masselose Erregung.

gcsantucci · Answer 2

Ich denke, anstatt dass ich versuche zu erklären, ist es viel besser, wenn Sie den Abschnitt „Nicht-Abelsche Beispiele“ von Peskin und Schroeder in Kapitel 20 lesen. Er erklärt genau, wonach Sie fragen. Es ist eigentlich der Vorgänger des Standardmodells.

Georgi und Glashow schlugen dieses Modell vor dem SM vor, weil sie nichts über das Z-Boson wussten. Es ist also genau das, was Sie brauchen, 2 massive (W's) und 1 masselose (Foton). aber es stellte sich heraus, dass Sie auch ein extra massives (Z) benötigen.

Wie auch immer, die Idee ist einfach, dass Sie Basen mischen. Sie haben eine Basis gewählt, um zu sehen, dass eine bestimmte Kombination Ihrer Generatoren das Vakuum invariant lässt. Aber dann haben Sie sich die diagonale Basis für die Massen angesehen. Auf dieser diagonalen Basis scheint es, als hätten alle 3 Masse erworben, aber wenn Sie sich um 45 Grad zu Ihrer 1-i2-Achse drehen, werden Sie sehen, dass einer von ihnen masselos ist.

SU (2) ist im Grunde die 3D-Rotation, Sie drehen sich also um die z-Achse und lassen den 3. Generator masselos. Aber die Generatoren, die Rotationen um die x-Achse und die y-Achse entsprechen, erhalten Masse.

Aber noch einmal, lies diesen Abschnitt, er ist viel besser erklärt!

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden. Ich denke, Sie können nicht einfach eine Basisrotation durchführen, um ein masseloses Boson aufzunehmen, weil wir alle in der Massenbasis bereit sind. Dies würde eine nichteinheitliche Transformation erfordern. Ich hoffe, Sie haben nichts dagegen, dass ich aus dem, was ich gelernt habe, eine Antwort zusammengestellt habe. Wenn Sie einen Kommentar dazu haben, würde mich Ihre Meinung interessieren.

JeffDror · Answer 3

Nachdem ich den Abschnitt von @gcsantucci gelesen habe, denke ich, dass ich irgendwie verstehe, was passiert ist, aber ich bin gespannt auf Feedback dazu.

Wenn Sie brechen $SU(2)$ Wenn Sie ein Dublett verwenden, brechen Sie tatsächlich alle Generatoren und erhalten massive Eichbosonen. Verwirrend war, dass eine lineare Kombination von Generatoren das Vakuum invariant lässt (nämlich $\sigma _1 + i \sigma _2$ ). Im Wesentlichen schlug ich vor, dass wir zuerst die Basis der Generatoren drehen sollten, um

{\underset{σ_{+}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (σ_{1} + ich σ_{2})}}, \underset{σ_{-}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (σ_{1} - ich σ_{2})}}, σ_{3}}

$\begin{equation} \bigg\{ \underbrace{ \frac{1}{2} ( \sigma _1 + i \sigma _2 )} _{ \sigma _+ } , \underbrace{ \frac{1}{2} ( \sigma _1 - i \sigma _2 )} _{ \sigma _- } , \sigma _3 \bigg\} \end{equation}$ und dann vernichtet die erste Kombination tatsächlich das Vakuum. Das Problem ist, dass dies keine gültige Darstellung von ist

S U (2)

$SU(2)$ . Denn die Matrizen gehorchen einer Schlüsseleigenschaft zweier Generatormatrizen nicht mehr:

Tr [T_{R}^{A} T_{R}^{B}] = 2 δ^{A B}

$\begin{equation} \mbox{Tr} \left[ t _r ^a t _r ^b \right] = 2 \delta ^{ ab } \end{equation}$ da zB

Tr [σ_{+} σ_{+}] = 0

$\begin{equation} \mbox{Tr} \left[ \sigma _+ \sigma _+ \right] = 0 \end{equation}$

Wie von @gcsantucci erwähnt, könnte man das drehen $W _i$ Basis, dass eines der Bosonen tatsächlich masselos ist. Dies ist richtig, würde aber eine nichteinheitliche Transformation erfordern. Ich vermute, dass dies irgendwie mit dieser Basisänderung zusammenhängt (aber ich kann nicht genau herausfinden, wie).

jetzt sehe ich deinen Punkt. Das tut mir leid. Eigentlich ein netter Punkt. Ich fürchte, ich weiß nicht, was los ist.
Übrigens (allgemeiner Kommentar), Sie würden 2 massive Bosonen und ein masseloses bekommen, wenn das Higgs in der adjungierten (Triplett-) Darstellung von wäre $SU(2)$ . Das ist leicht an der Ähnlichkeit zu zu erkennen $SO(3)$ -- jede Richtung bleibt unter einer bestimmten Rotationsachse unverändert. Da Experimente 2 + 1 massive Bosonen und 1 masseloses zeigen, brauchen wir ein zusätzliches U (1), aber um 3 Bosonen Masse zu geben, sollte das Higgs in der fundamentalen (Dubletten-) Darstellung von sein $SU(2)$ .

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