Es wird häufig behauptet, dass der Higgs-Mechanismus ein spontanes Brechen der Eichsymmetrie beinhaltet. Dies ist jedoch völlig falsch . Tatsächlich können Eichsymmetrien nicht spontan gebrochen werden .

Ein Standardargument dafür ist, dass Eichsymmetrien keine tatsächlichen Symmetrien sind, sondern nur eine Redundanz in unserer Beschreibung des Systems widerspiegeln; zwei Zustände, die durch eine Eichtransformation in Beziehung stehen, sind eigentlich derselbe physikalische Zustand. Somit ist eine Eichsymmetrie physikalisch eine "Nichtstun-Transformation" und daher macht es keinen Sinn, dass sie spontan gebrochen wird.

Dieses Argument scheint jedoch ein bisschen wie ein Ausweg zu sein - ich könnte einfach jede Symmetrie als eine ``Nichtstun-Transformation'' durch Befehl deklarieren, wenn ich wollte. Eine befriedigendere Erklärung ist: Auch wenn wir Eichsymmetrien als echte Symmetrien interpretieren, können sie niemals spontan gebrochen werden. Dieses Ergebnis ist als Satz von Elitzur bekannt, und es ist recht einfach zu verstehen, warum es wahr sein sollte. Konzentrieren wir uns auf klassische thermische Systeme – Quantensysteme bei Nulltemperatur werden auf klassische thermische Systeme in einer höheren Raumdimension abgebildet, also sollte das Argument übernommen werden.

Erinnern Sie sich zunächst an das mit der Hand winkende Argument dafür, warum beispielsweise im 2-D-Ising-Modell bei endlicher Temperatur eine spontane Symmetriebrechung stattfinden kann. Das 2-D-Ising-Modell hat zwei symmetriebrechende Grundzustände: alle$\uparrow$und alles$\downarrow$. Wenn ich jedoch durch lokale thermische Schwankungen zwischen sie gelangen möchte, muss ich eine Domäne erstellen und wachsen lassen, bis sie das gesamte System umfasst, was aufgrund der Energiekosten der Domänenwand einen erheblichen Energienachteil impliziert. Daher werden bei niedrigen Temperaturen Übergänge zwischen den beiden Grundzuständen in der Systemgröße exponentiell unterdrückt und das System bleibt in jedem von beiden hängen$\uparrow$oder alle$\downarrow$, also wird die Symmetrie spontan gebrochen. (Dasselbe Argument zeigt, warum das 1-D- Ising-Modell keine spontane Symmetriebrechung bei endlicher Temperatur haben kann, weil es keine erhebliche Energiestrafe gibt, die von allen zu bekommen ist$\uparrow$an alle$\downarrow$.)

Da andererseits eine Eichsymmetrie eine lokale Symmetrie ist, bricht dieses Argument zusammen. Jeweils zwei symmetriebrechende Grundzustände sind durch eine Folge von lokalen Eichtransformationen miteinander verbunden, die (da sie mit dem Hamilton-Operator pendeln) genau einen Energienachteil von null haben. Somit gibt es keine Energiebarriere zwischen verschiedenen Grundzuständen, und das System wird den gesamten Raum der Grundzustände erkunden – also keine Symmetriebrechung. Wir haben hier alles in Bezug auf klassische thermische Systeme ausgedrückt, aber es wird für später wichtig sein, dass die Quantenversion ohne Symmetriebruch darin besteht, dass der Hamilton-Operator eine Eindeutigkeit haben mussGrundzustand (zumindest bei entsprechenden Randbedingungen), denn entartete Grundzustände können durch Quantenfluktuationen immer aneinander koppeln, um einen Überlagerungszustand mit niedrigerer Energie zu erzeugen.

Nun, da wir festgestellt haben, dass der Higgs-Mechanismus keiner spontanen Symmetriebrechung entspricht und auch nicht entsprechen kann, werfen wir einen Blick darauf, was wirklich passiert. Der Einfachheit halber betrachten wir den einfachsten Fall, nämlich (Quant,$T = 0$)$\mathbb{Z}_2$Gittereichtheorie. Dieses umfasst zweidimensionale Quantensysteme auf allen Ecken und Verbindungen eines quadratischen Gitters. Die an den Scheitelpunkten bilden das "Materiefeld" und die an den Verbindungen das "Eichfeld". Wir bezeichnen die Pauli-Matrizen auf den Links mit$\sigma_{ab}^x$, etc. und auf den Scheitelpunkten durch$\tau_{a}^x$, usw. Der Hamiltonoperator ist

Man kann das Phasendiagramm dieses Hamilton-Operators im Detail darstellen, aber hier wollen wir uns nur auf die "Higgs"-Phase konzentrieren, die wann auftritt$g$Und$\lambda$klein sind, so dass der zweite und der vierte Term dominieren. Wir werden die Grenze nehmen$g \to 0$, behauptet ohne Beweis, dass die$g$small but not zero case ist qualitativ ähnlich. In diesem Grenzfall muss der Grundzustand a sein$+1$Eigenzustand des Produkts von$\sigma^z$um jede Plakette herum (Zustand "Kein Flussmittel"). Wenn das Modell auf einem Raum ohne nicht kontrahierbare Schleifen definiert ist, impliziert dies, dass wir für jede Konfiguration ohne Fluss schreiben können:$\sigma^z_{ab} = \widetilde{\sigma}^z_a \widetilde{\sigma}^z_b$für eine Auswahl an$\{ \widetilde{\sigma}^z_a \} = \pm 1$. Daher können alle "Kein-Flussmittel"-Konfigurationen zufriedenstellend hergestellt werden$\sigma^z_{ab} = 1$durch eine geeignete Eichtransformation. Somit reduziert sich der Hamilton-Operator unter dieser Eichfixierungsbedingung auf das Transversalfeld-Quanten-Ising-Modell für die Materiefelder:

F: Aber Moment mal, sagt der Satz von Elitzur nicht, dass Eichsymmetrien nicht spontan gebrochen werden können?

A: Nun, eigentlich haben wir beim Fixieren des Eichmaßes den lokalen Teil der Eichsymmetrie und den obigen Hamilton-Operator verbraucht$H_{gf}$hat nur ein$\mathbb{Z}_2$ globale Symmetrie. Somit verstößt es nicht gegen den Satz von Elitzur, wenn es eine spontane Symmetriebrechung aufweist.

F: Aber was ist mit dem ursprünglichen Hamiltonian,$H$? Es hatte eine Eichsymmetrie und entspricht dem neuen Hamilton-Operator$H_{gf}$, die eine spontane Symmetriebrechung aufweist, also muss der ursprüngliche Hamilton-Operator auch eine spontane Symmetriebrechung aufweisen?

A: Sie müssen sehr vorsichtig sein, in welchem ​​Sinne$H$Und$H_{gf}$sind äquivalent, weil die "Gauge-Fixing"-Transformation, die sie in Beziehung setzt, nicht einheitlich ist (da es eine Viele-zu-Eins-Transformation ist). Trotzdem, wenn man genau genug nachdenkt und die Tatsache nutzt, dass$H$unter der Eichsymmetrie invariant ist, ist es nicht schwer zu zeigen, dass es eine Entsprechung zwischen den Eigenzuständen von gibt$H$und von$H_{gf}$. Da jedoch die beiden entarteten Grundzustände von$H_{gf}$durch eine Eichtransformation in Beziehung stehen, entsprechen sie eigentlich nur einem einzigen eindeutigen Grundzustand$H$, in Übereinstimmung mit dem Satz von Elitzur. Dieser einzigartige Grundzustand$|\Psi\rangle_H$von$H$kann in Bezug auf die Grundzustände gefunden werden$|\Psi\rangle_{H_{gf}}$von$H_{gf}$indem man sie symmetriert, um sie eichinvariant zu machen, d.h

Zusammenfassend scheint der Higgs-Mechanismus also einem spontanen Symmetriebruch bei einer bestimmten Wahl des Messgeräts zu ähneln, aber das ist eine Illusion. Der wahre Grundzustand ist eindeutig und eichinvariant.

Kurz gesagt: Das spontane Brechen der globalen U(1)-Symmetrie anstelle der lokalen „Eichsymmetrie“ führt zu dem Nicht-Null-Vakuum-Erwartungswert des Higgs-Felds. Dieser VEV ungleich Null ist ein wesentlicher Bestandteil des Higgs-Mechanismus, der beschreibt, wie das Higgs-Feld anderen Teilchen Masse verleiht, und sein Wert ist proportional zur erzeugten Masse.

Um den Higgs-Mechanismus zu untersuchen, können wir einen Lagrange-Operator der Form verwenden:

Wo:

Dieser Lagrangian ist eichinvariant und hat global$U(1)$Symmetrie . Beachten Sie, dass ich nicht sage, dass sie lokal sind$U(1)$Eichsymmetrie noch lokale U(1)-Symmetrie, weil:

• Eichsymmetrie ist keine echte Symmetrie , sondern eine Redundanz unserer Naturbeschreibung. In diesem Sinne kann es niemals spontan gebrochen werden .

• Lokal$U(1)$Symmetrie ist ein Maß , wir haben diese Symmetrie nicht in einer deterministischen Theorie.

Wir sagen, die Lagrange-Funktion ist eichinvariant in dem Sinne, dass:

Der erste Schritt in Richtung des Higgs-Mechanismus ist eine spontane Symmetriebrechung (SSB) von global$\text{U}(1)$Symmetrie. dh Wir werden einen bestimmten Wert von wählen$\phi$im "minimalen Kreis" des Potenzials$V(|\phi|)$. Dadurch verlor der Grundzustand das Globale$U(1)$Symmetrie, die der Lagrange hat. Bei Verlust der Allgemeinheit gehen wir davon aus, dass es spontan eingebrochen ist$\phi_0 = v$, ein echter Wert.

Im nächsten Schritt erweitern wir unser Feld um$\phi_0=v$, wir nehmen an$\phi=(v+h)e^{i\xi}$. Setzen Sie es in die Lagrange-Funktion ein, erhalten wir:

Wir können sehen, dass dieser Lagrange-Operator immer noch eichinvariant ist , erinnern Sie sich an unsere Definition der Eichtransformation oben, es bedeutet:

Unter Eichtransformation haben wir also:

Das bedeutet, dass die Lagrange-Funktion immer noch eichinvariant ist.

Jetzt definieren wir$A'_{\mu}=A_{\mu}+\frac{1}{e}\partial_{\mu}\xi$. Das betonen wir$A'_{\mu}$sollte nicht als Eichfeld bezeichnet werden, da es selbst eichinvariant ist. In bestimmten physikalischen Zusammenhängen kann dieses Vektorfeld in Form von eichinvarianten physikalischen Größen ausgedrückt werden. Wir haben auch$F'_{\mu\nu}=F_{\mu\nu}$, Wo:

Jetzt wird die Lagrange-Funktion zu:

Wo wir die konstanten Terme und Wechselwirkungsterme weggelassen haben, erhalten wir einen Massenterm für das Vektorfeld$A'$und das ursprüngliche masselose Goldstone-Boson$\xi$ist einfach verschwunden. Dies ist das Sprichwort, dass "das Vektorfeld Goldstone-Bosonen gefressen hat und schwer geworden ist".

An diesem Punkt haben wir gesehen, dass wir den Higgs-Mechanismus auf eichinvariante Weise erklären können, dies ist keine spontane lokale Eichsymmetriebrechung in der obigen Analyse, da wir gerade gezeigt haben, dass sie eichinvariant ist.

Andererseits können wir die Lehre im ehemaligen Lagrange auch manuell fixieren. Die übliche Wahl ist zu lassen$\xi = 0$, damit wir haben$A'=A$. Da wir die Eichung fixiert haben, ist es nicht mehr gültig, von Eichinvariante zu sprechen. Dies mag der Grund dafür sein, dass von „spontaner lokaler Spursymmetriebrechung“ die Rede ist. Der manuelle Lehrenfixierungsprozess sollte jedoch nicht als spontaner Prozess betrachtet werden.

Die Essenz des Higgs-Mechanismus besteht darin, dass er beim Brechen der (Eich-)Symmetrie eine Masse für die Eich- (Vektor-)Bosonen wachsen lässt, die in der ungebrochenen Symmetrie notwendigerweise masselos sind. Der Higgs-Skalar und die beiden Freiheitsgrade des masselosen Vektorbosons bilden zusammen die drei Freiheitsgrade eines massereichen Vektorbosons. Der Satz von Goldstone ( https://en.wikipedia.org/wiki/Goldstone_boson ) besagt, dass wenn eine kontinuierliche Symmetrie eines Systems spontan gebrochen wird, der Grundzustand des Systems entartet ist. In einer Eichtheorie sind die entarteten Grundzustände tatsächlich durch eine Eichtransformation voneinander erreichbar, sie sind also einfach Eichkopien aufeinander und entsprechen einem einzigen physikalischen Zustand.