Links-rechts-Topologie

Damit eine Theorie stabile Monopollösungen präsentieren kann, muss sie drei Anforderungen erfüllen:

i) Es muss die topologischen Bedingungen haben, allgemein dargestellt als nicht triviale zweite Homotopiegruppe der Vakuummannigfaltigkeit.

ii) Es muss eine Quantisierungsbedingung erfüllen

$$e^{ieQ_m}=\mathbb 1,$$ Wo $Q_m$ist die (nicht-Abelsche) magnetische Ladung. Dies ist eine Verallgemeinerung der Dirac-Quantisierungsbedingung .

iii) Der Monopol muss eine Lösung der klassischen Monatsgleichungen sein.

Es kann gezeigt werden, dass zur Erfüllung von ii) die$U(1)_{em}$muss kompakt sein (auch die elektrische Ladung muss quantisiert sein), also isomorph zum Kreis und nicht zu den reellen Zahlen. Es stellt sich heraus, dass, wenn Sie ein SSB haben$G\rightarrow K\times U(1)$, Die$U(1)$ist kompakt, wenn$G$Und$K$sind beide halbeinfach . Ansonsten$U(1)$kann nicht kompakt sein. In Ihrem Fall,$G$ist nicht halbeinfach, sondern hat einen abelschen Faktor.

Für das Brechen der chiralen Symmetrie wie bei QCD, wo die Symmetrie global ist, gibt es definitiv keine 't Hooft-Polyakov-Monopole, da diese auftreten, wenn Sie spontan eine lokale Eichsymmetrie brechen. Sie brechen eine globale.

Es gibt einige Studien über sogenannte " semilokale Defekte ", die auftreten können, wenn Sie eine lokale und eine globale Symmetrie auf "gemischte Weise" brechen.

Was die Stabilität topologischer Lösungen als Monopole und Wirbel charakterisiert, sind topologische Größen wie die Windungszahl . Nehmen Sie der Einfachheit halber einen Vortex. Grob gesagt würde die Windungszahl sagen, wie sich das Skalarfeld dreht, wenn wir um den Wirbel herumgehen. Diese Drehung erfolgt im Innenraum. Mit einer globalen Symmetrie kann man ein solches rotierendes Skalarfeld nicht konstruieren. Die topologischen Zahlen wären trivial.