Schnittpunkt der Domänenmauern

Ich habe diesen Artikel gelesen ( Über Domänenformen und -prozesse in supersymmetrischen Theorien ). Im Abschnitt über die Überschneidung von Domänenwänden (Absatz$4$, Buchseite$7$) sagen die Autoren:

In einer Ein-Feld-Theorie ist bekannt, dass ein Schnittpunkt von Domänenwänden instabil ist

Sie erklären es wie folgt:

Tatsächlich hat die in Fig. 2a gezeigte Konfiguration translatorische Nullmoden, deren Form durch den Gradienten des Feldes gegeben ist. Da es in der Ebene Richtungen gibt, in denen sich das Feld an beiden Nullpunkten den gleichen Werten annähert, hat die Komponente des Gradienten in dieser Richtung notwendigerweise Null. Somit kann der Nullmodus nicht der niedrigste im Spektrum sein und es existiert ein negativer Modus, der zu einer Trennung der Wände führt.

Also, ich habe die Theorie eines Skalarfeldes drin$2+1$mit Mexikohut-Potenzial:$V=\frac{\lambda}{4}\left( \phi^{2}-v^{2}\right)^{2}$.

Ich betrachte die Konfiguration (Schnitt der Domänenwände) mit Randbedingungen:

$$\phi_{d}(+\infty, +\infty)=-v$$ $$\phi_{d}(+\infty, -\infty)=v$$ $$\phi_{d}(-\infty, +\infty)=v$$ $$\phi_{d}(-\infty, -\infty)=-v$$ Hier $\phi_{d}$die stationäre Bewegungsgleichung erfüllt (erinnern Sie sich daran $\dot{\phi}=0$):

$$\Delta \phi_{d}-\frac{\partial V}{\partial \phi}(\phi_{d})=0.$$

Ich halte die kleine Aufregung für überstanden$\phi_d$:$\tilde{\phi}=\phi_{d}+\phi$. Nach dem Linearisieren erhalte ich die folgende Gleichung ($\phi=e^{i\omega t}f_{\omega}(x_1,x_2)$):

$$\left[-\Delta + \frac{\partial^{2}V}{\partial \phi^{2}}(\phi_{d})\right]f=\omega^{2}f \tag{1}$$ .

Ich habe Nullmodi gefunden : seine Richtungsableitung :$f_{0}(x_{1},x_{2})=(\nabla\phi, \mathbf{n})$. Es erfüllt die Gleichung$(1)$mit$\omega=0$.

Jetzt kann ich die Richtungen entlang "Diagonalen" betrachten, an deren Enden das Feld den gleichen Wert annimmt$v$oder$-v$(siehe Abbildung 2 auf Seite 10 in der Datei). An dieser Diagonalen gibt es also einen Punkt, wo$f_{0}=0$, wie die Autoren sagten.

Aber ich kann den letzten Satz ihrer Erklärung nicht verstehen: Wie die Existenz eines solchen Punktes (wo$f_{0}=0$) impliziert, dass wir auch negative Modi haben? Können Sie mir das erklären? Vielen Dank im Voraus.

PS. Ich werde auch andere Ansätze akzeptieren, um die Existenz negativer Moden (und damit die Instabilität einer solchen Konfiguration) zu zeigen.