Messen Sie das Potential über S4S4\mathbb{S}^4 vs. R4R4\mathbb{R}^4

Durch stereografische Projektion $\mathbb R^n$zugeordnet werden kann$S^n$Minus einen Punkt. Wenn$\mathbb R^n$verdichtet wird, indem man einen "Punkt im Unendlichen" hinzufügt, wird die Karte zum Ganzen$S^n$.

Das Folgende ist für$\mathbb R^2$Und$S^2$weil sie einfacher zu zeichnen sind, aber es verallgemeinert sich$\mathbb R^n$Und$S^n$wenn Sie die Transformationen ausschreiben.

Setzen Sie eine 2-Kugel in den euklidischen 3-Raum mit ihrem "Südpol" in den Ursprung und lassen Sie die Tangentialebene an diesem Punkt die sein$xy$-Ebene. Für jeden Punkt$P$im$xy$-Ebene, zeichne eine Linie von$P$zum Nordpol der Kugel (Bild aus Wikimedia Commons ):

Die Linie schneidet die Kugel in genau einem Punkt, und jeder Punkt auf der Kugel mit Ausnahme des Nordpols entspricht einem Punkt in der Ebene. So bekommen wir eine Karte dazwischen$\mathbb R^2$Und$S^2$Minus einen Punkt. Wenn wir einen "Punkt im Unendlichen" hinzufügen, wird er zum Nordpol gesendet.

Man kann zeigen, dass diese Abbildung konform ist, dh Winkel erhält. Daher können wir jede konform invariante Gleichung (dh sie hängt nur von Winkeln zwischen Vektoren ab) genauso gut als eine Gleichung auf betrachten$\mathbb R^n$oder an$S^n$.

Der "Punkt im Unendlichen" kann hier einen Schraubenschlüssel darstellen, da man typischerweise einige Randbedingungen im Unendlichen für den hat$\mathbb R^n$-Theorie und man muss überlegen, wie man diese auf die überträgt$S^n$Theorie. Dies kann von der Topologie der Lösungen abhängen, aber ich bin mir sicher, dass Sie das in Ihrem Buch lernen werden.