Quantenfeldtheorie in der Raumzeit mit verschiedenen Topologien

Angenommen, ich möchte Streuamplituden in einer Quantenfeldtheorie mit der folgenden Aktion berechnen:

Hier habe ich Materie (ohne gravitative Wechselwirkungen) und einige Möglichkeiten von Raumzeit-Topologien einbezogen. Nach einiger Suche im Internet habe ich festgestellt, dass abhängig von der Raumzeitstruktur drei topologische Begriffe hinzugefügt werden können:

• Ein Pontryagin-Begriff
• Ein Euler-Term
• Ein Nieh-Yan-Begriff

Erste Frage: Wenn ich diese Terme einbeziehen will, muss ich dann den Gravitationsterm (die Einstein-Hilbert-Wirkung) einbeziehen oder kann ich eine Quantenfeldtheorie nur mit diesen topologischen Termen konstruieren?

Berechnung der Partitionsfunktion

mit den Materiefeldern$\phi$führt zu endlichen Ergebnissen; Die Quantisierung der Schwerkraft ist aufgrund der Nichtrenormierbarkeit noch nicht bekannt. In der Stringtheorie ist die Summe über Topologien als Gattungserweiterung bekannt; kann ich eine ähnliche Erweiterung über Topologien für eine 4-dimensionale Raumzeit durchführen? Kann ich in einer Quantenfeldtheorie eine flache Raumzeit, aber unterschiedliche Topologien und unterschiedliche Verteilungen von Raumzeitgrenzen annehmen und wenn ja, wie würde die Zustandssumme genau aussehen?

Ich könnte QFT auch in klassisch gekrümmter Raumzeit machen, aber die Quantisierung von Feldern wird schwieriger; daher: Minkowski-Metrik auf Regionen$\Omega$wo Quantenfelder definiert werden können.

Wenn ich eine Aktion mit Grenzen habe, dh$S_{matter} = \int_\Omega d^4x \mathcal{L}_{matter}$und ich mache Moduserweiterung in$k$-Platz für die Felder$\phi$dann treten nicht einfach Delta-Verteilungen für die Energie-Impuls-Erhaltung auf (es ist$\delta(k_{incoming}^\mu - k_{outcoming}^\mu)$), wird stattdessen auftreten$sinc(k_{incoming}^\mu - k_{outcoming}^\mu)$wenn es eine Grenze der Raumzeit gibt. Dies impliziert, dass es Amplituden geben wird, bei denen Energie und Impuls nicht erhalten bleiben, und aufgrund der Symmetrie der sinc-Funktion mit dem Argument hat der Energiegewinn die gleiche Wahrscheinlichkeit wie der Energieverlust; somit bleibt im Mittel noch Energie erhalten. Indem man die Grenze nimmt$\hbar \mapsto 0$, die Sinc-Funktion wird zur Delta-Funktion; Das bedeutet, dass diese Energie- und Impulsüberschüsse Quanteneffekte sind.

Die letzte Frage lautet: Was würde ein Beobachter sehen, wenn die Raumzeit irgendwo eine oder mehrere Grenzen hat? Wird der Beobachter sehen, dass Teilchen-Antiteilchen-Paare für eine Weile in der Nähe dieser Grenzen auftauchen?

Meine Hauptidee ist, dass Gravitationsterme vernachlässigt werden können, aber topologische Terme respektiert werden können, so dass man eine Erweiterung für die Streuamplitude hat

$A = A_{matter,Pontryagin = 0} + g^1A_{matter,Pontryagin = 1} + g^2A_{matter,Pontryagin = 2} + \dots$

mit der Kopplung an den Pontryagin-Term$g$und wobei der erste Term in der Erweiterung für eine Raumzeit ohne Grenzen ist (Energie-Impuls in diesem Beitrag streng erhalten). Ich fasse die Fragen zusammen:

• Ist die Schwerkraft (Abhängigkeit von der Raumzeitgeometrie) vernachlässigbar? Ich nehme an, dass der Betrag des Energie-Impuls-Tensors des Systems ausreichend klein ist und dass keine äußeren Gravitationsfelder vorhanden sind?
• Wie definiere ich eine plausible Partitionsfunktion, wenn ich eine "Summe über (flache) Raumzeittopologien" machen möchte?
• Was würde jemand an Raumzeitgrenzen beobachten?

Hinweise wären sehr willkommen!