Zwei Definitionen topologischer Begriffe in der Feldtheorie

Topologische Terme aller Art müssen immer nicht von der Metrik abhängen, sodass ihre Integrale topologischen Invarianten entsprechen, die als topologische Ladungen in der Quantenfeldtheorie dienen.

Es ist jedoch wichtig, zwischen zwei Arten von topologischen Begriffen zu unterscheiden, die in der Frage erwähnt werden, da sie zu unterschiedlichen physikalischen Konsequenzen führen. Bitte beachten Sie die Deligne-Freed- Vorlesungen zu klassischen Feldtheorien.

Der erste Typ ($\theta$-terms) tritt auf, wenn man auf dem Zielraum eine geschlossene Form annimmt, deren Rang gleich der Dimension des Basisraums ist$\mathcal{M}$:

$$\omega(y) = \omega_{\alpha_1 …\alpha_n} dy^{\alpha_1}\wedge… dy^{\alpha_n}$$

ziehe es zurück auf den Grundraum und integriere:

$$\int_{\mathcal{M}}\omega_{\alpha_1 …\alpha_n} \frac{\partial y^{\alpha_1}}{ \partial x^{\beta_1}}… \frac{\partial y^{\alpha_n}}{ \partial x^{\beta_n}} dx^{\beta_1}\wedge… dx^{\beta_n}$$

Die Integration dieses Formulars erfordert keine Metrik.

Eine wichtige Unterklasse dieser Art von Begriffen$\omega$ist ein Repräsentant einer charakteristischen Klasse (siehe Nash und Sen Abschnitt 7.22) eines Faserbündels über dem Zielraum. In diesem Fall kann der topologische Term zum Lagrange-Operator auf einem geraddimensionalen Basisraum hinzugefügt werden.$\theta$-Terme sind topologische Ladungen von Instantonen, und ihre Einbeziehung in die Lagrange-Funktion entspricht der Wahl von a$\theta$-Vakuum. Prototypen dieser Art topologischer Terme sind die$\theta$- Laufzeit von QCD und die Windungsnummer in der$\mathbb{C}P^1$Modell.

Die zweite Art topologischer Terme besteht aus Rückzügen auf die Basismannigfaltigkeit sekundärer Merkmalsklassen (siehe Nash Seite 223). Diese Klassen leben in seltsamen Dimensionen. Sie sind nur geschlossen, wenn der Messanschluss ein reiner Messfühler ist. In diesem Fall bestehen sie aus Holonomien (Berry-Phasen) von Eichverbindungen und höheren Versionen davon in höheren Dimensionen.

Im Gegensatz zu Merkmalsklassen, die Faserbündel über Verteiler klassifizieren, klassifizieren sekundäre Merkmalsklassen flache Faserbündel. Die Prototypen topologischer Terme, die sekundären charakteristischen Klassen zugeordnet sind, sind der Term der elektromagnetischen Wechselwirkung eines geladenen Teilchens (in 1D) und der Chern-Simons-Term (in 3D). Der reine Eichfall entspricht einem Aharonov-Bohm-Potential in 1D und einem Wess-Zumino-Witten-Term in 3D.