Warum werden topologische Eigenschaften durch Oberflächenterme beschrieben?

Ein Beispiel sind die Anomalien in abelschen und nicht-abelschen Eichquantenfeldtheorien.

Beispielsweise ist die abelsche Anomalie F ~ μ v F μ v und das Integral über diese Größe ist eine topologische Invariante, die eine topologische Eigenschaft des Eichfelds misst EIN μ .

Alle diese Größen können als totale Ableitungen umgeschrieben und dann unter Verwendung des Gaußschen Gesetzes in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden.

Was ist der intuitive Grund dafür, dass Größen, die topologische Eigenschaften beschreiben, immer als Flächenintegrale geschrieben werden können?

Weil sie sonst die Bewegungsgleichungen beeinflussen würden und per Definition nicht-topologisch wären?
@SolenodonParadoxus Oberflächenterme beeinflussen die Bewegungsgleichungen nicht und das unterscheidet sie. So weit, ist es gut. Jetzt ist mein Problem, die Verbindung zur Topologie zu sehen. Vielleicht ist ein besseres Beispiel die hydrodynamische Helizität en.wikipedia.org/wiki/Hydrodynamical_helicity , die ebenfalls eine topologische Größe ist und durch einen Oberflächenbegriff beschrieben wird. Es beschreibt die „Knötchenbildung von Wirbellinien in der Strömung“. Warum beschreiben wir eine solche topologische Eigenschaft des Systems mit einem Oberflächenintegral?
@SolenodonParadoxus Etwas anders formuliert: Warum sind topologische Eigenschaften immer vollständig in der Systemgrenze kodiert?
-1. Unklar. Fragen Sie, warum das Divergenztheorem funktioniert?
@sammygerbil nein. Ich frage mich, warum eine topologische Größe, wie etwa die „Verknotung von Wirbellinien in der Strömung“ oder die „Wicklung der Eichfunktionen“ vollständig durch ein Flächenintegral bestimmt, also vollständig im Systemrand kodiert ist
Es gibt topologische Terme, die die Bewegungsgleichungen beeinflussen. Ein berühmtes Beispiel sind Chern-Simons-Terme. In der dreidimensionalen Chern-Simons-Maxwell-QED blenden sie das Photon aus! Ein solcher Chern-Simons-Term ist in dem Sinne topologisch, dass er keine metrische Struktur benötigt und insofern sensibel ist für die Topologie der Mannigfaltigkeit, auf der die Theorie definiert ist.

Antworten (3)

Ich gebe Ihnen eine Antwort aus Sicht der Pfadintegralquantisierung.

Wenn wir eine Eichtheorie quantisieren, müssen wir alle Konfigurationen von Verbindungen einer Eichgruppe auf einer mannigfaltigen Modulo-Eichtransformation summieren.

Im Gegensatz zum affinen Raum aller Verbindungen (ohne Teilung durch Eichtransformation) kann der letztere Raum (der Verbindungen Modulo-Eichtransformation) entsprechend verschiedenen Sektoren von Bündeln getrennt werden, die nicht durch eine beliebige Kombination von Diffeomorphismen der Basis ineinander deformiert werden können vielfältige oder kontinuierliche Deformationen der Übergangsfunktionen der Faser.

In der Quantentheorie müssen wir unbedingt über alle topologischen Sektoren im Pfadintegral summieren. Wenn wir das zum Beispiel beim Problem eines Teilchens, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, nicht tun, erhalten wir nicht die richtige Antwort, die durch die Schrödinger-Gleichung gegeben ist.

Chern und Weil (siehe die folgende Darstellung von Fecko) entdeckten einen tiefgreifenden Satz, dass es topologische Invarianten gibt, die zwischen den Haupt- oder Vektorbündeln mit derselben Strukturgruppe unterscheiden, was durch bestimmte Polynome der Krümmung der Verbindung ausgedrückt werden kann . Diese topologischen Invarianten hängen weder von der Verbindung (es sind Eichinvarianten) noch von den Feldstärken ab, sondern nur vom Bündel. Darüber hinaus können diese topologischen Invarianten – charakteristische Klassen genannt – durch Kohomologieklassen der Basismannigfaltigkeit ausgedrückt werden (deshalb sind sie abgeschlossen).

Daher können wir diese Invarianten verwenden, um verschiedene Bündel im Pfadintegral zu gewichten, da sie weder von den Verbindungen noch von den Feldern abhängen, sondern nur von den Bündeln.

Es gibt andere topologische Invarianten, die nicht in Differentialformen geschrieben werden können, wie die Stiefel-Whitney-Klassen, von denen die Existenz von Fermionen auf der Mannigfaltigkeit abhängt. Diese Invarianten wirken sich auch auf das Pfadintegral aus, es sind jedoch fortgeschrittenere Techniken erforderlich, um sie zu berücksichtigen.

Es ist erwähnenswert, dass nicht jede geschlossene Form auf der Basismannigfaltigkeit ein Bild einer charakteristischen Klasse ist (oder als Kombination von charakteristischen Klassen geschrieben werden kann). Als topologische Terme können wir also nur spezielle Arten von geschlossenen Formen betrachten.

Danke vielmals! Die Erläuterungen von Fecko sind erstaunlich. Eine Frage: Was ist die Interpretation der "verschiedenen Bündel", die wir hier zusammenfassen müssen? Ich weiß, dass wir zB bei Vorhandensein eines Monopols ein ganz anderes Bündel erhalten als im Vakuumfall. Es ist jedoch nicht verwunderlich, dass Bundles für physisch unterschiedliche Systeme unterschiedlich sind und es nicht erforderlich wäre, sie zu summieren. Ich nehme an, Sie sprechen also von ungleichen Bündeln für ein System, wie z. B. das Vakuum. Entsprechen die von Ihnen erwähnten inäquivalenten Bündel zB unterschiedlichen Instantonen (Wicklung 1, 2 usw.)?
Ja, die verschiedenen Bundles im Fall von QCD sind die Instanton-Bundles. Sie alle beschreiben unterschiedliche Konfigurationen eines einzigen Systems, nämlich QCD.

So ziemlich jedes Mal, wenn ein Physiker "topologische Invariante" sagt, meint er eine topologische Invariante eines Vektorbündels (das Vektorbündel, in dem die Felder normalerweise Werte annehmen), von denen die häufigsten die Chern-Klassen sind .

Die Chern-Klassen können als Integrale von Polynomen in der Krümmung ausgedrückt werden (es spielt keine Rolle, welche Krümmung, selbst wenn die physikalische Theorie kein Eichfeld enthält, können Sie einfach ad hoc eines auswählen/konstruieren). ∫ F ∧ F , und es kommt vor, dass diese Polynome in der Krümmung lokal totale Ableitungen ihrer zugehörigen Chern-Simons-Formen sind . Auf der Ebene der Strenge der Physik, auf der man jetzt normalerweise das "lokal" außer Acht lässt, sind die Integrale der Polynome in der Krümmung, die die Chern-Klassen ergeben, Integrale von totalen Ableitungen, daher "Grenzterme". Die tiefere mathematische Geschichte, warum die Krümmungspolynome, die integrale Kohomologieklassen eines Bündels in der DeRham-Kohomologie darstellen, solche totalen Ableitungen sein sollten, ist die Geschichte der sekundären charakteristischen Klassen und der differentiellen Kohomologie .

Es sollte jedoch betont werden, dass die Chern-Klassen keine "Oberflächenbegriffe" sind, wenn wir versuchen, etwas strenger als der durchschnittliche Physiker zu sein. Tatsächlich macht diese Terminologie keinen Sinn, da es sich um Invarianten von Vektorbündeln über gewöhnliche Mannigfaltigkeiten handelt und gewöhnliche Mannigfaltigkeiten keine Grenze haben - alle "Oberflächenbegriffe" verschwinden einfach auf einer kompakten Mannigfaltigkeit und sind möglicherweise schlecht definiert auf nicht-kompakte. Was wirklich passiert, ist, dass der Physiker wieder einmal die globale Eigenschaft eines Bündels auf so etwas wie verdichteter Raumzeit verbirgt S 4 indem Sie es einfach in einem der Koordinatenfelder betrachten und die gesamte Struktur des zweiten erforderlichen Feldes "bis ins Unendliche", dh "an die Oberfläche", verschieben, genau wie in dieser Antwort von mir auf Ihre Frage zu großen Spurtransformationen.

Außerdem hat der "Oberflächenbegriff" normalerweise eine Art Konnotation, dass die Wahl der Funktion auf der Oberfläche immer noch wichtig ist - aber das ist nicht der Fall, die Chern-Klasse ist unabhängig von der Wahl der Verbindung , wie es eine echte topologische Invariante sein sollte ist ausschließlich eine Funktion der topologischen Homöomorphismusklasse des Bündels. Die Verwendung einer Art Eichfeld / Krümmung zur Berechnung der topologischen Invariante ist lediglich eine Krücke , da dies häufig einfacher ist als "reine" topologische Berechnungen, insbesondere für Physiker, die eine solche Topologie nicht kennen.

Dies ist keine vollständige Antwort, aber ich werde sie geben, um einige Aspekte zu berücksichtigen, die in den vorherigen (guten) Antworten nicht behandelt und im Kommentar des OP ausdrücklich erwähnt wurden:

Ich frage mich, warum eine topologische Größe, wie etwa die „Verknotung von Wirbellinien in der Strömung“ oder die „Wicklung der Eichfunktionen“ vollständig durch ein Flächenintegral bestimmt, also vollständig im Systemrand kodiert ist

In diesem Fall beziehen sich die topologischen Invarianten, auf die Sie sich beziehen, auf Homotopieklassen . Insbesondere im Fall von Eichtheorien suchen wir nach Lösungen für endliche Energie (oder Spannung im Fall einer Wirbellinie), und dies erlegt den asymptotischen Feldern einige Einschränkungen auf. Jeder (nicht negative) Term in der Hamiltonschen Dichte H muss ausreichend schnell verschwinden, wenn sich die Felder der räumlichen Unendlichkeit nähern. Vor allem das Potenzial v muss asymptotisch verschwinden. Das bedeutet, dass das Skalarfeld wann zur Vakuummannigfaltigkeit gehört r → ∞ . Dieses asymptotische Feld liefert eine Karte von der räumlichen Unendlichkeit (die von der räumlichen Dimension des Modells abhängt) bis zum Vakuumverteiler, und verschiedene Konfigurationen (unterschiedliche Karten) werden gemäß Homotopiegruppen in äquivalente Klassen eingeteilt. Karten, die zu verschiedenen Klassen gehören, können nicht kontinuierlich ineinander deformiert werden, weshalb nicht-triviale Karten (zB nicht-triviale Windungszahl) als topologisch stabil oder geschützt bezeichnet werden. Wie Sie sehen können, sind die topologischen Invarianten (nämlich die Homotopieklassen) in diesen Modellen in den asymptotischen Feldern oder in der Grenze des Systems codiert.

Danke für deine Antwort! Was Sie jedoch ansprechen, ist genau das, was mich verwirrt. Die Wicklung des Feldes findet nicht im räumlichen Unendlichen statt. Alle Eichfeldkonfigurationen und alle uns interessierenden Eichtransformationen sind im räumlichen Unendlichen trivial. Die Wicklung erfolgt in der Masse und nicht an der Grenze. Unter Ausblendung der zeitlichen Dimension und Beschränkung auf eine räumliche Dimension halte ich so eine Spurweitentransformation mit Windungszahl 1 für möglich U ( 1 ) sieht so aus: i.stack.imgur.com/mshyZ.png . Ein Spurtrafo mit Wicklung 0 wäre der, bei dem alle Pfeile nach oben zeigen usw.
(Das Bild ist von Frankels Geometry of Physics Seite 557 übernommen). Wenn wir uns auf im Unendlichen triviale Eichtransformationen und im Unendlichen triviale Feldkonfigurationen beschränken, ist die räumliche Unendlichkeit nur ein Punkt, auf den wir unsere 3 Raumdimensionen verdichten können S 3 . Daher bin ich mir nicht sicher, was Sie mit Karten von "räumlicher Unendlichkeit" bis zum Vakuumverteiler meinen.
@JakobH Warum sagst du, dass das Wickeln der Felder in der Masse passiert? Betrachten wir ein konkretes Beispiel: (3+1) Yang-Mills-Higgs. Dann erfolgt die Wicklung im Unendlichen, nicht in der Masse. Beachten Sie, dass das, was ich mit Unendlichkeit meine, "ausreichend weit vom Kern entfernt" ist. Die Windungszahl einer kosmischen Saite wird weit entfernt von ihrem Kern gezählt. Gleiches gilt für die Wicklung eines Monopols. Der Punkt ist, dass, wenn zwei asymptotische Konfigurationen (weit entfernt vom Kern) nicht kontinuierlich ineinander verformt werden können, das Feld für den gesamten Raum auch nicht kann.
@JakobH In Bezug auf das von Ihnen erwähnte Beispiel ordnen Sie von dort aus zu R zu S 1 und dann projizieren Sie stereografisch R auf zu S 1 − N Ö r t h P Ö l e . Am Ende hast du eine Karte S 1 − N Ö r t h P Ö l e → S 1 . Dies klingt künstlich, wenn wir über die Windungszahl sprechen wollen, da dies als die Anzahl von Malen definiert werden kann, mit denen wir das Bild abdecken S 1 Da gehen wir einmal um die Domäne herum S 1 . In jedem Fall ist die Tatsache, dass dies von der Masse abhängt, sehr speziell für dieses eindimensionale Beispiel.
@JakobH Im Beispiel von Wirbeln oder Monopolen ist die Eichtransformation im Unendlichen überhaupt nicht trivial. Tatsächlich gehört (wie in der Antwort besprochen) das asymptotische Skalarfeld zum Vakuumverteiler und wir erhalten es durch eine nicht triviale Eichtransformation (große Eichtransformation) zu einem beliebigen Punkt ϕ 0 . Für den 't Hooft-Polyakov-Monopol beispielsweise ist die explizite Transformation g ( θ , ϕ ) = exp ⁡ ( − ich n ϕ T 3 ) exp ⁡ ( − ich θ T 2 ) exp ⁡ ( ich n ϕ T 3 ) wo T ich bildet ein s u ( 2 ) Algebra...
@JakobH ... Diese Transformation dreht das Vakuum ϕ 0 = ( 0 , 0 , 1 ) zu einer Konfiguration, die nicht homotop zum Vakuum ist. Insbesondere wenn n = 1 dies ergibt die asymptotische Igelkonfiguration im Innenraum der Algebra s u ( 2 ) , die topologisch gegen Verformung zum Vakuum geschützt ist.
Das erwähnte Beispiel zusammen mit meinen Ausführungen zur Trivialität von Eichtransformationen im Unendlichen sind durch die übliche Behandlung des QCD-Vakuums, Instantonen etc. motiviert. Dort werden immer nur Eichtransformationen betrachtet, die im Unendlichen trivial sind, und die räumlichen Dimensionen kompaktiert S 3 . Jetzt sehe ich, dass die von Ihnen erwähnten Beispiele mit topologischen Defekten zusammenhängen und nicht mit Solitonen oder dem Vakuum. Wenn ich mich richtig erinnere, besteht die Idee, diese Mängel zu bemerken, darin, sich eine große Kugel vorzustellen, die den Monopol umgibt.
EIN U ( 1 ) monopole macht sich bemerkbar, weil das Bündel nicht mehr trivial, sondern gegeben ist S 3 Über S 2 . In diesem Fall stimme ich zu, dass tatsächlich eine topologische Eigenschaft vollständig auf der Grenze codiert ist. Vielen Dank!
Warum werden topologische Eigenschaften durch Oberflächenterme beschrieben?
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