Wie berechnet man ein TQFT Gaußsches Pfadintegral aus Seibergs "Spaß an der Freifeldtheorie"?

Question

Wie berechnet man ein TQFT Gaußsches Pfadintegral aus Seibergs "Spaß an der Freifeldtheorie"?

Physik
Wegintegral
Partitionsfunktion
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen
Topologische-Feld-Theorie

Elias Riedel Garding

In seinem Vortrag „Fun with Free Field Theory“ diskutiert Seiberg eine topologische Quantenfeldtheorie in $d+1$ Dimensionen mit der Aktion

\begin{matrix} (1) & S = \frac{N}{2 π} \int ϕ D A \end{matrix}

$S = \frac{n}{2\pi} \int \phi\, \mathrm{d} a \tag{1}$ Wo

ϕ

$\phi$ ist ein periodischer Skalar (

ϕ \sim ϕ + 2 π

$\phi \sim \phi + 2\pi$ ),

a

$a$ ist ein

d

$d$ -Form Eichfeld so quantisiert, dass

\int_{M} a \in 2 π Z

$\int_M a \in 2\pi\mathbb{Z}$ für alle

d

$d$ -Zyklus

M

$M$ , Und

n

$n$ ist eine ganze Zahl. Er schreibt die Korrelationsfunktion auf

\begin{matrix} (2) & ⟨ e^{ich ϕ (P)} e^{ich \oint_{M} A} ⟩ = e^{\frac{2 π ich}{N} ℓ} \end{matrix}

$\left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(p)} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\oint_M a}\right\rangle = \mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{n} \ell}\tag{2}$ Wo

p

$p$ ist ein Punkt,

M

$M$ ist geschlossen

d

$d$ -dimensionale Hyperfläche und

ℓ

$\ell$ ist die Verknüpfungsnummer von

p

$p$ Und

M

$M$ . Er sagt, da die Theorie gaußsch (d. h. frei) ist, ist es einfach, die Partitionsfunktion zu berechnen und das obige Ergebnis durch Ausführen eines Gaußschen Integrals zu erhalten.

Ich verstehe nicht, wie man das macht. Mein Hauptanliegen ist, dass das Pfadintegral

\begin{matrix} (3) & Z = \int D ϕ D A e^{- S} \end{matrix}

$Z = \int \mathscr{D}\phi \mathscr{D}a\, \mathrm{e}^{-S}\tag{3}$ sieht für mich nicht nach Gauß aus. Für mich ist das Gaußsche Integral

\begin{matrix} (4) & \int D^{N} Φ e^{- \frac{1}{2} Φ^{T} M Φ} = \frac{1}{\sqrt{det (M / 2 π)}} \end{matrix}

$\int\mathrm{d}^n\Phi\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \Phi^T M \Phi} = \frac{1}{\sqrt{\det(M/2\pi)}} \tag{4}$ Wo

M

$M$ ist symmetrisch und positiv definit, aber wenn ich versuche zu definieren (in 1 + 1-Dimensionen für die Konkretheit)

Φ = (ϕ, a_{0}, a_{1})

$\Phi = (\phi, a_0, a_1)$ , Ich bekomme

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} S & = \frac{N}{2 π} \int D^{2} X D^{2} j \frac{1}{2} ϕ (\partial_{0} A_{1} - \partial_{1} A_{0}) \\ = \int D^{2} X D^{2} j \frac{1}{2} Φ^{T} \underset{M (X, j)}{\underset{⏟}{\frac{N}{4 π} δ^{(2)} (X - j) (\begin{matrix} 0 & - \partial_{1} & \partial_{0} \\ \partial_{1} & 0 & 0 \\ - \partial_{0} & 0 & 0 \end{matrix})}} Φ \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S &= \frac{n}{2\pi} \int \mathrm{d}^2 x\, \mathrm{d}^2 y\, \frac{1}{2} \phi(\partial_0 a_1 - \partial_1 a_0) \\ &= \int \mathrm{d}^2 x\, \mathrm{d}^2 y\, \frac{1}{2} \Phi^T \underbrace{\frac{n}{4\pi} \delta^{(2)}(x - y) \begin{pmatrix} 0 & -\partial_1 & \partial_0 \\ \partial_1 & 0 & 0 \\ -\partial_0 & 0 & 0\end{pmatrix}}_{M(x,y)} \Phi \end{align}\tag{5}$ und es scheint wie dieser Operator

M

$M$ sicher bestimmt hat

0

$0$ . Daher macht das Pfadintegral keinen Sinn, und insbesondere kann ich Korrelatoren nicht mit der Standardmethode des Einführens von Quelltermen und Vervollständigen des Quadrats berechnen, da dies eine Invertierung erfordern würde

M

$M$ .

Bei dem, was ich gesagt habe, fallen mir drei Probleme ein:

Mein $M$ sieht nicht symmetrisch aus, weil ich partielle Integrationen durchgeführt habe $\phi \partial_\mu a_1 \to -a_1 \partial_\mu \phi$ (aber es ist hermitesch?)
Ich habe keine Messgerätfixierung oder Regularisierung des Pfadintegrals durchgeführt, und
seit $\phi$ ist periodisch und $a$ quantisiert ist, funktioniert die übliche Art, Gaußsche Integrale zu berechnen, möglicherweise nicht.

Ist das Pfadintegral wirklich Gaußsch? Wie würden Sie vorgehen, um es zu berechnen? Würde die Berücksichtigung der oben genannten "Probleme" das Problem lösen?

Jede Hilfe wird sehr geschätzt!

Verwandte: Wie funktioniert dieses Gaußsche Integral über das Hilfsfeld in der 2D-topologischen Eichtheorie?

Antworten (2)

Wie berechnet man ein TQFT Gaußsches Pfadintegral aus Seibergs "Spaß an der Freifeldtheorie"?

QMechaniker · Answer 1

Hier ist eine Möglichkeit, den Korrelator von OP abzuleiten (2):

Man kann sich die Wilson-Linien/Vertex-Operatoren in Gl. (2) im Rahmen einer erweiterten Aktion
$\begin{matrix} (A) & \begin{aligned} \tilde{S} = & S + ϕ (P) + \int_{M} A \\ = & \frac{N}{2 π} \int ϕ D A + \int ϕ (X) δ^{D + 1} (X, P) (⋆ 1) (X) + \int A \land D 1_{N} (X), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\tilde{S}~=~& S + \phi (p) + \int_M\! a\cr ~=~&\frac{n}{2\pi} \int\! \phi~ \mathrm{d} a+\int \! \phi (x)~\delta^{d+1}(x,p)~(\star 1)(x) + \int a \wedge \mathrm{d}1_N(x) ,\end{align}\tag{A}$ Wo $\star 1$ ist die Bandform an $\mathbb{R}^{d+1}$ Und $1_N$ ist die Indikator-/Kennlinienfunktion . Hier haben wir der Einfachheit halber angenommen, dass der Kreislauf $M=\partial N$ ist eine Grenze, und wir haben einige implizite Orientierungsentscheidungen getroffen. Die Aktion heißt Gaussian/free, weil jeder Term nur (bis zu) 2 Felder enthält.
Der EOM für $\phi$ Ist $^1$
$\begin{matrix} (B) & \frac{N}{2 π} D A (X) + δ^{D + 1} (X, P) (⋆ 1) (X) \approx 0, \end{matrix}$ $\frac{n}{2\pi} \mathrm{d} a(x)+\delta^{d+1}(x,p)~(\star 1)(x)~\approx~0,\tag{B}$ während der EOM für $a$ Ist $\begin{matrix} (C) & D (\frac{N}{2 π} ϕ - 1_{N}) \approx 0 \Rightarrow \frac{N}{2 π} ϕ - 1_{N} \approx C Ö N S T . \end{matrix}$ $\mathrm{d}(\frac{n}{2\pi}\phi - 1_N)~\approx~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{n}{2\pi}\phi - 1_N~\approx {\rm const} .\tag{C}$
Die klassische On-Shell-Aktion wird (nach Vernachlässigung eines Randterms)
$\begin{matrix} (D) & {\tilde{S}}_{C l} = \frac{2 π}{N} \int 1_{N} (X) δ^{D + 1} (X, P) (⋆ 1) (X) = \frac{2 π}{N} ℓ . \end{matrix}$ $\tilde{S}_{\rm cl}~=~\frac{2\pi}{n}\int\! 1_N(x) ~\delta^{d+1}(x,p)~(\star 1)(x)~=~\frac{2\pi}{n}\ell.\tag{D}$
Eine ähnliche Berechnung für die ursprüngliche Aktion $S$ Erträge
$\begin{matrix} (E) & S_{C l} = 0. \end{matrix}$ $S_{\rm cl}~=~0.\tag{E}$
Der Korrelator (2) von OP kann über 2 Gaußsche Integrale berechnet werden $^2$
$\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} ⟨ e^{ich ϕ (P)} e^{ich \oint_{M} A} ⟩ = \frac{\tilde{Z}}{Z} = \frac{\int D ϕ D A e^{ich \tilde{S}}}{\int D ϕ D A e^{ich S}} = \frac{e^{ich {\tilde{S}}_{C l}}}{e^{ich S_{C l}}} \overset{(D) + (E)}{=} e^{\frac{2 π ich}{N} ℓ} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(p)} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\oint_M a}\right\rangle ~=~\frac{\tilde{Z}}{Z} ~=~\frac{\int\!\mathscr{D}\phi \mathscr{D}a~ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\tilde{S}}}{\int\!\mathscr{D}\phi \mathscr{D}a~ \mathrm{e}^{\mathrm{i}S}} ~=~\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tilde{S}_{\rm cl}}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}S_{\rm cl}}} ~\stackrel{(D)+(E)}{=}~ \mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{n} \ell}.\end{align}\tag{F}$ (Man sollte die Gaußschen Integrale analytisch fortsetzen , um sie konvergent zu machen.) Das Vervollständigen des Quadrats ergibt die klassischen On-Shell-Aktionen. Beachten Sie, dass sich die 2 Gaußschen Determinanten aufheben.

--

$^1$ Hier das $\approx$ Vorzeichen bedeutet gleich Modulo der EOMs.

$^2$ Hier ignorieren wir der Einfachheit halber die Lehrenfixierung. Eine Eichfestlegung würde zu zusätzlichen Termen in den beiden Aktionen führen, die sich im Korrelator (F) aufheben.

Ein alternativer Weg (unter der Annahme der Vereinfachung $M=\partial N$ ), wäre, einfach das Quadrat zu vervollständigen und das neue Gaußsche Pfadintegral zu berechnen. Wenn $M\neq \partial N$ , aber was soll man tun?

ɪdɪət strəʊlə · Answer 2

Eine etwas allgemeinere Version Ihres Gaußschen Integrals ist

\int D ϕ \exp (- \frac{1}{2} ⟨ ϕ, Ω ϕ ⟩) = \frac{1}{\sqrt{det Ω}} .

$\int \mathrm{D}\phi \exp\left(-\frac{1}{2}\left<\phi,\Omega \phi\right> \right) = \frac{1}{\sqrt{\det\Omega}}.$ In diesem Fall ist Ihr inneres Produkt

⟨ ∙, \circ ⟩ := \int ∙ \land ⋆ \circ,

$\left<\bullet,\circ\right>:= \int \bullet\wedge\star\circ,$ Wo

⋆

$\star$ ist der Hodge-Stern . Eine andere Formel, die normalerweise mit Gaußschen Integralen verbunden ist, ist

\int D ϕ D ψ \exp (- ⟨ ϕ, Ω ψ ⟩) = \frac{1}{det Ω},

$\int \mathrm{D}\phi\;\mathrm{D}\psi \exp\!\big(-\left<\phi,\Omega \psi\right>\big) = \frac{1}{\det\Omega},$ die Sie entweder durch die Herstellung beweisen können

(ϕ, ψ)

$(\phi,\psi)$ in einen Vektor und Erhalten eines gewöhnlichen Gaußschen Integrals für den Differentialoperator

\frac{1}{2} (\begin{array}{cc} Ω \\ Ω \end{array}),

$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} & \Omega \\ \Omega & \end{array}\right),$ oder indem Sie ein bisschen nachlässig mit Faktoren von umgehen

i

$i$ und denken Sie an eines der beiden Integrale als eine (funktionale) Delta-Funktion für das andere Feld und verwenden Sie dann die Eigenschaften der (funktionalen) Delta-Funktionen.

In jedem Fall bekommen Sie hier

\int D ϕ D A \exp (- \frac{N}{2 π} \int ϕ \land D A) = \int D ϕ D A \exp (- \frac{N}{2 π} \int ϕ \land ⋆ ⋆ D A) = {[det (\frac{N}{2 π} ⋆ D)]}^{- 1} = {[det (\frac{N}{2 π} \partial)]}^{- 1},

$\int\mathrm{D}\phi\mathrm{D}a \exp\left(-\frac{n}{2\pi}\int\phi\wedge \mathrm{d}a\right)= \int\mathrm{D}\phi\mathrm{D}a \exp\left(-\frac{n}{2\pi}\int\phi\wedge \star\star\mathrm{d}a\right) =\left[\det\left(\frac{n}{2\pi}\star\mathrm{d}\right)\right]^{-1}=\left[\det\left(\frac{n}{2\pi}\partial\right)\right]^{-1},$ Wo

⋆ ⋆ = 1

$\star\star=1$ weil es auf a wirkt

(d + 1)

$(d+1)$ -Form ein

d + 1

$d+1$ Abmessungen und ich schrieb

⋆ d

$\star\mathrm{d}$ als

\partial

$\partial$ weil es wirkt

d

$d$ -Formen.

Mit etwas mehr Arbeit sollten Sie in der Lage sein, die Verknüpfungsnummer aus dieser Zwei-Punkte-Funktion herauszubekommen.

Zu den Kommentaren am Ende Ihrer Frage:

Dass es nicht symmetrisch ist, ist kein Problem.
Das ist ein guter Punkt. In meiner Antwort habe ich die Eichinvarianz völlig ignoriert, nur um zu zeigen, wie das gewünschte Integral tatsächlich ein Gaußsches Integral ist. Unter Berücksichtigung der Eichinvarianz würde sich jedoch moralisch ein (n unendlicher) Faktor ergeben $\mathrm{vol}(\mathcal{G})^{-1}$ , Wo $\mathcal{G}$ ist die Gauge-Gruppe (hier wäre es $\mathcal{G}=\mathrm{Maps}(X,\mathrm{B}^d\mathrm{U}(1))$ , Wo $X$ ist die Mannigfaltigkeit Ihrer Theorie und $\mathrm{B}^d$ bedeutet, dass Sie eine Eichsymmetrie höherer Form haben). Betrachtet man jedoch Korrelationsfunktionen, sollte sich dieser Faktor aufheben, wenn Sie eine Division durch die Partitionsfunktion in Ihre Definition von Korrelationsfunktionen aufnehmen. Eine Regularisierung würde den genauen Wert der Determinante beeinflussen, was sich ohnehin wieder aufheben würde, wenn Sie Korrelationsfunktionen berechnen.
Das ist auch ein guter Punkt. Im Allgemeinen beeinflusst es wieder den Wert der Determinante und möglicherweise zusätzliche Dinge, die von den Nullmodi kommen. Wenn Sie sich also für die Partitionsfunktion interessieren, müssen Sie vorsichtiger sein. Aber auch diese heben sich in der Korrelationsfunktion auf.

Danke, das hilft sehr! Ich fühle mich immer noch ein wenig unwohl mit dem Konzept einer Determinante eines Operators wie z $\star\mathrm{d}$ welche Karten $d$ -Formen in $0$ -Formen. In der linearen Algebra würden wir die Determinante nur für Endomorphismen eines Vektorraums definieren, nicht für Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen unterschiedlicher Dimension. Ich könnte mir vorstellen, dass der Raum von $d$ -forms ist "größer" als der Raum von $0$ -Formen, also sollte die Determinante automatisch 0 sein. Wie ist das zu verstehen? (Ist dies vielleicht der Ort, an dem die Fixierung des Messgeräts einige Freiheitsgrade zunichte machen kann? Aber könnte es alle bis auf einen Freiheitsgrad töten $a$ ?)
Sie können sich die Determinante von vorstellen (oder sogar definieren). $\star\mathrm{d}$ als Quadratwurzel der Determinante von $(\star\mathrm{d})^\dagger \star\mathrm{d}$ , bis hin zu Regularisierungsfragen.

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Elias Riedel Garding

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