"tmf (n) (n) (n) ist der Raum supersymmetrischer konformer Feldtheorien der zentralen Ladung −n−nn"

Ich habe neulich diese faszinierende Aussage in John Baez' Woche 197 gelesen , und ich habe darüber nachgedacht. Der fragliche Beitrag stammt aus dem Jahr 2003, daher habe ich mich gefragt, ob es Fortschritte bei der Formulierung oder sogar Klärung der Vermutung im Titel gegeben hat.

Hier tmf ( N ) ist das Spektrum topologischer modularer Formen, die eine Art verallgemeinerte elliptische Kohomologietheorie definieren. Diese haben eine sehr schöne Konstruktion von Lurie mit einem bestimmten Modulstapel, also hoffte ich, dass man diese Konstruktion verwenden könnte, um eine Beschreibung der konformen Feldtheorie zu geben. Auch wenn die Aussage

tmf ( N ) ist der Raum der supersymmetrischen konformen Feldtheorien der zentralen Ladung − N

ist nur eine moralische Aussage, mich interessiert die Intuition dahinter.

Könnten Sie bitte etwas näher erläutern, was die Vermutung ist?
Leider ist die einzige Referenz, die ich habe , wie gesagt , von math.ucr.edu/home/baez/week197.html . Vielleicht verdient es nicht einmal, als Vermutung bezeichnet zu werden, aber ich würde gerne die Intuition hinter der Aussage verstehen. Die Verbindung zwischen modularen Formen und Scheitelpunktoperatoralgebren scheint sehr tief zu sein, was vor allem durch die Lösungen für bestimmte Probleme wie den "monströsen Mondschein" bezeugt wird. Die vergleichsweise Allgemeingültigkeit der Aussage im Titel ist das Interessante.
Danke. Ich habe nur nach einer kurzen Erklärung oder Definition der Begriffe im Titel und den Referenzen gesucht, die Sie haben, nur als Ausgangspunkt für alle Antworten.
Vielen Dank, das ist perfekt. Hoffe auf interessante und hilfreiche Antworten.
Es ist unwahrscheinlich, dass Sie eine Beschreibung der konformen Feldtheorie aus dem tmf-Spektrum erhalten. Es scheint wahrscheinlicher, dass alle interessanten Funktoren in die andere Richtung gehen und dass die elliptische Kohomologie eine Art Schatten von CFT aufweist.

Antworten (3)

Dies ist eine Vermutung von Stoltz und Teichner (siehe beispielsweise dieses Papier oder diese Umfrage ). Der beste Beweis ist, dass sie eine Vorstellung vom Raum der 1D-Feldtheorien definieren und zeigen, dass es sich um einen klassifizierenden Raum für die K-Theorie handelt. Man könnte vermuten, dass die elliptische Kohomologie (dh tmf) von einer Dimension höher kommt. Wenn es eine bessere Motivation dafür gab (abgesehen von der offensichtlichen Verbindung mit der Gattung Witten usw.), habe ich sie vergessen. Ich habe mir das zuletzt etwa 2006 angesehen, also könnte es in der Zwischenzeit einige Fortschritte gegeben haben.

Danke. Diese sehen aus wie genau das, wonach ich gesucht habe. Ich hoffe immer noch, dass sich jemand zu den jüngsten Entwicklungen äußern kann.

Neben dem Artikel und der Umfrage, auf die Aaron hinweist, die am besten zu lesen sind, gibt es auch diese Vorträge:

http://online.itp.ucsb.edu/online/strings05/teichner/

http://online.itp.ucsb.edu/online/strings05/stolz/

Ich stoße jetzt auf diesen alten Thread. Vielleicht lohnt es sich immer noch, ein Update und eher eine Antwort zu geben.

Der neueste Bericht (zum Zeitpunkt des Schreibens dieses Artikels) der hier fraglichen Vermutungsaussage erscheint als Vermutung 1.17 in

(Siehe Abschnitt 1.8 dort für einen expliziten Vergleich mit den früheren Berichten, die in den anderen Antworten zitiert wurden.)

Wie Aaron in einer anderen Antwort andeutet, ist diese Vermutung durch zwei Tatsachen motiviert:

erstens die Partitionsfunktion des (heterotischen) Superstrings – das Wittener Geschlecht ist ein Ringhomomorphismus

Ω ∙ S T R ich N G ⟶ M F ∙

vom Kobordismus-Ring der Green-Schwarz-Quantenanomalie- freien Raumzeiten zum Ring der modularen Formen hat eine homotopietheoretische Verfeinerung zur sogenannten String-Orientierung von tmf , die jetzt ein Homomorphismus von kohärent homotopie-kommutativen Ringen ist

M S T R ich N G ⟶ T M F

zum tmf-spektrum .

Zweitens haben Stefan Stolz und Peter Teichner in ihren früheren Arbeiten zu (1|1)-dimensionalen Feldtheorien und der K-Theorie gezeigt, dass in gewissem Sinne der „Raum“ von ( 1 | 1 ) -dimensionale Quanten-Superteilchen-Theorien ist K-Theorie-Spektrum .

Dies ist naheliegend, da die Theorie der chromatischen Homotopie einen präzisen mathematischen Sinn hat, in dem tmf die zweidimensionale (stringy) Version der K-Theorie-Theorie ist .

Daher sagt die obige Vermutung 1.17 sehr grob aus, dass der "Raum" geeigneter 2-dimensionaler Super-String-Theorien "sein" sollte T M F .

Vorerst scheint es fair zu sein zu sagen, dass die Vermutung wirklich eine Vermutung bleibt. Was der obige Artikel rigoros festlegt, ist eine Neuherleitung der Gattung Witten in der Weise, dass die Vermutung nun präzise formuliert werden kann.

(In den letzten Jahren lag ein Großteil der Aufmerksamkeit in diesem „Stolz-Teichner-Programm“ auf niederdimensionalen Analoga der allgemeinen Idee. Es ist viel Arbeit über den niederdimensionalen Fall von erschienen ( 0 | 1 ) -dimensionale Feldtheorien (physikalisch: Super-Instantonen, Super-D(-1)-Branes). )

"tmf (n) (n) (n) ist der Raum supersymmetrischer konformer Feldtheorien der zentralen Ladung −n−nn"
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