Wie kann ich zeigen, dass die Inversion ständig mit einer Spiegelung verbunden ist?

Erinnern Sie sich, dass die (globale) konforme Gruppe gegeben ist durch

$${\rm Conf}(p,q)~\cong~O(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \},\tag{1}$$

vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Verwendung der Einbettung$\imath: \mathbb{R}^{p,q}\hookrightarrow \overline{\mathbb{R}^{p,q}}$in die winkeltreue Verdichtung$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$, kann man nach kurzer Rechnung zeigen, dass die Inversionskarte$I:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$, gegeben von

$$I(x)~:=~\frac{x}{\eta^{p,q}(x,x)} ,\tag{2}$$

wird vertreten durch die$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$Matrix

$$I~=~{\rm diag}(-1,1,1,\ldots, 1) . \tag{3}$$

Zweitens die Reflexion$R:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$der ersten Koordinate, gegeben durch

$$R(x)~:=~(-x^1,x^2,\ldots,x^{p+q}),\tag{4}$$

wird vertreten durch die$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$Matrix

$$R~=~{\rm diag}(1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{5}$$

Daher die Zusammensetzung$IR$wird vertreten durch die$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$Matrix

$$IR~=~{\rm diag}(-1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{6}$$

Wir können die Frage von OP jetzt wie folgt umformulieren.

Frage: Wann kommt die Komposition$IR$gehören zur angeschlossenen Komponente${\rm Conf}_0(p,q)$das das Identitätselement enthält?

Antwort: Man kann zeigen, dass genau dies geschieht

• Wenn$p>0$, oder

• Wenn$p=0$Und$q$ist ungerade,

unter Verwendung der Tatsache, dass die unbestimmte orthogonale Gruppe $O(p\!+\!1,q\!+\!1)$hat vier verbundene Komponenten und Methoden, die im oben erwähnten Phys.SE-Beitrag skizziert sind.

Beispiel: Im 2D-euklidischen Fall$\mathbb{R}^{2,0}\cong \mathbb{C}$mit$p=2$Und$q=0$, die Umkehrung (2) ist

$$I(z)~=~\frac{1}{\bar{z}}, \tag{7}$$

die Reflexion (4) ist minus komplexe Konjugation

$$R(z)~=~-\bar{z},\tag{8}$$

und die Zusammensetzung$IR$ist die Möbius-Transformation

$$IR(z) ~=~-\frac{1}{z},\tag{9}$$

die vertreten wird durch die$SL(2,\mathbb{C})$Matrix

$$\begin{pmatrix} 0 &\pm 1 \cr \mp 1 &0 \end{pmatrix}. \tag{10}$$ Die Möbius-Transformation (9) - (10) gehört zur Zusammenhangskomponente

$${\rm Conf}_0(2,0)~\cong~ SO^+(3,1) ~\cong~SL(2,\mathbb{C}) /\{\pm {\bf 1} \},\tag{11}$$

das das Identitätselement enthält, dh die eingeschränkte Lorentz-Gruppe .

Konzeptionell besteht die Idee darin, dass Ebenen und Kugeln vom Standpunkt der konformen Geometrie aus äquivalent sind. Konforme Transformationen bilden {Ebenen, Kugeln} auf {Ebenen, Kugeln} ab, und zwar transitiv – jedes Objekt in der Menge {Ebenen, Kugeln} kann durch eine konforme Transformation aus jedem anderen erhalten werden.

Inversion ist eine Reflexion an einer Kugel, und Sie müssen sie nur durch eine Transformation konjugieren, die diese Kugel in eine Ebene verwandelt, um eine Reflexion zu erhalten. Diese letztere Transformation kann kontinuierlich mit einer trivialen verbunden werden, indem der Mittelpunkt der Kugel ins Unendliche verschoben wird, während ein Punkt auf der Grenze fixiert bleibt.

Genauer gesagt, nehme das an$T_1$bildet die Einheitskugel auf eine Ebene ab$x_1=const$. Dann

$$R_1=T_1IT_{1}^{-1}$$ ist eine Reflexion, wenn $I$ist die Standardinversion bzgl. der Einheitskugel. Wenn wir eine Homotopie haben $T_t$, $t\in[0,1]$zwischen $T_1$Und $T_0=\mathrm{id}$, dann haben wir eine Homotopie zwischen $R_1$eine Reflexion u $R_0=I$die Standardumkehrung.

Um eine solche Homotopie zu finden, betrachten Sie die spezielle konforme Transformation, die durch gegeben ist

$$K(a)=IP(a)I= x_\mu\mapsto \frac{x_\mu+a_\mu x^2}{1+a^2x^2+2(a\cdot x)}$$ für $P(a)$die Übersetzung von $a$. Die Idee ist, dass die erste Umkehrung die Einheitskugel auf sich selbst abbildet, und dann können wir durch übersetzen $a=(1,0,0,\ldots)$den Punkt abzubilden $-a$der Einheitskugel zum Ursprung, der dann durch die zweite Umkehrung ins Unendliche abgebildet wird. Eine Kugel mit einem Punkt im Unendlichen ist eine Ebene. Es ist leicht zu sehen, dass es durch die Gleichung gegeben sein wird $x_1=1/2$indem man bedenkt, woher der Punkt kommt $a$der Sphärenkarte zusammen mit der Symmetrie des Konstrukts.

Wir können also nehmen$T_t=K(ta)$, seit$K(0)=\mathrm{id}$. Es ist etwas chaotisch, die expliziten Formeln auszuarbeiten, aber das Konzept sollte klar sein.

Denken Sie an die Kugel$S^n$als Ein-Punkt-Verdichtung von$\mathbb{R}^n$, können wir die stereographische Projektion von der durch definierten Ebene betrachten$x^0 = 0$zur Einheitskugel$\{x\in \mathbb{R}^n\,:\,|x| = 1\}$. Diese Karte ist tatsächlich auf definiert$\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$, es nimmt den Punkt$\infty$zum Nordpol der Einheitskugel. Außerdem sind diese beiden Teilmengen genau die Fixpunktmengen von$R$Und$I$, bzw. Beide Karten verhalten sich wie Reflexionen über diesen festen Punktmengen, wie Sie angedeutet haben. Unter Verwendung des geometrischen Bildes der stereografischen Projektion (die Karte zieht den Punkt in der Ebene entlang einer Linie, die diesen Punkt mit dem Nordpol der Einheitskugel verbindet, bis er die Kugel zum ersten Mal trifft), sehen wir, dass wir kontinuierlich von der Identitätskarte zu gehen können die Projektionskarte, indem Sie sich kontinuierlich entlang dieser Linien bewegen. Sie sollten in der Lage sein, die relevanten Formeln ohne allzu große Mühe aufzuschreiben. Wir können diesen Prozess auch durch parametrisieren$t\in [0,1]$damit das Bild des Flugzeugs an$t = 0$ist das Flugzeug selbst und zur Zeit$t = 1$ist die Einheitskugel. Bezeichne mit$S_t$das Bild dieser Karte zur Zeit$t$. Definieren einer Familie von Karten von$S^n$das Spiegelbild zu sein$S_t$zum Zeitpunkt$t$ergibt einen kontinuierlichen Pfad aus$R$Zu$I$im Raum von Karten aus$S^n$zu sich selbst.

Abhängig von den Besonderheiten des Problems müssen Sie möglicherweise überprüfen, ob dieser Pfad von Karten in der konformen Gruppe enthalten ist (dh für each$t\in [0,1]$ob die Reflexion über$S_t$ist konform).