Erste Chern-Zahl, Monopole und Quanten-Hall-Zustände

Die erste Chern-Nummer C Es ist bekannt, dass es mit verschiedenen physischen Objekten zusammenhängt.

  1. Eichfelder sind als Verbindungen einiger Hauptbündel bekannt. Vor allem grundsätzlich U ( 1 ) Bündel soll nach der ersten Chern-Nummer klassifiziert werden. In Bezug auf das elektromagnetische Feld, C ≠ 0 ist gleichbedeutend mit der Existenz von Monopolen.

  2. Bei ganzzahligen Quanten-Hall-Zuständen ist die Chern-Zahl einfach die Hall-Leitfähigkeit bis zu einer Konstanten.

Bei beiden physikalischen Problemen hängt die Chern-Zahl mit der Vorticity zusammen – einem quantisierten Wert (erster Fall, Diracs String-Argument und zweiter Fall, Wirbel in der magnetischen Brillouin-Zone).

Dann meine Frage:

  1. Was war das „physikalische“ Bild in Cherns Kopf, als er sich die Theorie ursprünglich „ausgedacht“ hatte? (Vielleicht Knoten, aber wie?)

Anmerkungen:

Mein Punkt ist, dass mathematische Theoreme nicht gottgegeben sind, sondern aus konkreten Problemen entstanden sind. Ich habe gefragt, was das ursprüngliche Problem war , das Chern gelöst hat, aus dem er die allgemeinen Theoreme kodifiziert hat. Und die Chern-Zahl scheint mit der Vorticity zusammenzuhängen, und was sind dann die entsprechenden Wirbel in seinem Problem?

Ich dachte, Chern sei ein reiner Mathematiker, der an dem Problem der Bündelklassifizierung arbeite. Die Anwendungen bei körperlichen Problemen wurden nicht von ihm gemacht (aber ich kann mich irren). Um Chern-Klassen zu verstehen, müssen Sie charakteristische Klassen erforschen , die zu den Gebieten der algebraischen Topologie/Differentialgeometrie gehören. Für dieses Thema empfehle ich immer diese Referenz .
Danke für den Kommentar. Mein Punkt ist, dass mathematische Theoreme nicht gottgegeben sind, sondern aus konkreten Problemen entstanden sind. Ich habe gefragt, was das ursprüngliche Problem war, das Chern gelöst hat, aus dem er die allgemeinen Theoreme kodifiziert hat. Und die Chern-Zahl scheint mit der Vorticity zusammenzuhängen, und was sind dann die entsprechenden Wirbel in seinem Problem?
Das ursprüngliche Problem, das SS Chern löste, bestand darin, konkrete Ausdrücke für die charakteristischen Klassen komplexer Vektorbündel zu geben. Die Klassen sind topologisch und messen, wie nicht trivial das Bündel ist. Nehmen Sie als Beispiel das reelle Linienbündel über einem Kreis, das triviale Bündel ist ein Zylinder. Das erste nichttriviale Bündel ist ein Möbiusband. Die Euler-Klasse misst, wie oft sie sich vom trivialen Zylinder wegdreht. Diese Zahl muss ganzzahlig sein. Die Chern-Klasse ist ähnlich, jedoch für komplexe Bundles.

Antworten (2)

Die ursprüngliche Referenz ist hier (1945!). Beachten Sie, dass vor Chern-Klassen die Stiefel-Whitney-Klassen kamen, die geben Z 2 Invarianten reeller Mannigfaltigkeiten. Chern wollte Invarianten komplexer Mannigfaltigkeiten, also definierte er seine berühmten Klassen.

Insgesamt kann man sich charakteristische Klassen und ihre Krönung, die Indextheorie, als eine große Reihe von Verallgemeinerungen des Gauß-Bonnet-Theorems vorstellen, das eine Möglichkeit bietet, eine lokal definierte Größe (die Gaußsche Krümmung) in eine globale zu integrieren (und quantisierte) topologische Invariante (die Euler-Charakteristik).

Vielleicht kann man sagen, das liegt alles daran, dass Gauss nur eine bessere Art Pizza essen wollte .

"Beim Quanten-Hall-Effekt (QAHE) fand Klitzing heraus, dass die Hall-Leitfähigkeit ein ganzzahliges Vielfaches einer Grundkonstante ist. Dieser Effekt ist unabhängig von der Größe und den Verunreinigungen des Systems, mit dem wir es zu tun haben. Basierend darauf hat ein berühmter Wissenschaftler R. Laughlin schlug eine Theorie vor, die die ganzzahligen Zustände in Form einer topologischen Invariante beschreibt.Diese topologische Invariante ist als Chern-Zahl bekannt.

Für Einzelheiten zur CERN-Nummer gibt es einen Wikipedia-Link."

Erste Chern-Zahl, Monopole und Quanten-Hall-Zustände
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v